博弈论进阶之Multi-SG

Multi-Nim

从最简单的Nim模型开始

它的定义是这样的

有\(n\)堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于\(2\)石子分为两堆不为空的石子，没法拿的人失败。问谁会胜利

博弈分析

这个问题的本质还是Nim游戏，可以利用SG定理来解释

通过观察不难不发现，操作一与普通的Nim游戏等价

操作二实际上是将一个游戏分解为两个游戏，根据SG定理，我们可以通过异或运算把两个游戏连接到一起，作为一个后继状态

煮个栗子

SG(3)的后继状态有\(\{ (0),(1),(2),(1,2) \}\)他们的SG值分别为\(\{ 0,1,2,3 \}\)，因此\(SG(3)=mex\{ 0,1,2,3 \}=4\)

另外这种游戏还有一个非常神奇的性质

\[SG\left( x\right) =\begin{cases}x-1\left( x\mod4=0\right) \\ x\left( x\mod4=1 \lor 2\right) \\ x+1\left( x\mod4=3\right) \end{cases} \]

然后把这个结论背过就好啦233

Multi-SG

根据上面的游戏，我们定义Multi-SG游戏

• Multi-SG 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的后继可以为多个单一游戏。
• Multi-SG其他规则与SG游戏相同。

注意在这里要分清楚后继与多个单一游戏

对于一个状态来说，不同的划分方法会产生多个不同的后继，而在一个后继中可能含有多个独立的游戏

一个后继状态的SG值即为后继状态中独立游戏的异或和

该状态的SG值即为后继状态的SG值中未出现过的最小值

例题

难度跨度好大啊QWQ。。

直接放题解吧

HDU 3032

POJ 2311

BZOJ 2940

BZOJ 1188

洛谷 3235