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复杂度证明

普通莫队时间复杂度为\(O\left( n\times \sqrt {n}\right)\)

证明：

当我们第\(i\)个询问转移的第\(i+1\)个询问时

如果第\(i\)个询问区间和第\(i+1\)个询问区间的左端点所在块的编号相同，那么左端点的移动不会超过\(\sqrt{n}\)。

也就是说，左端点一直在块内移动的总复杂度为\(O(n*\sqrt{n})\)(因为左端点最多转移\(n\)次，减去左端点跨越块的部分，不足\(n\))

同时由于右端点升序，那么若\(l,l+1,,,r-1,r\)的询问区间左端点所在块的编号相等，那么右端点的移动不会超过n次。有一位有\(\sqrt{n}\)个块，

所以这一部分的复杂度是\(O(n*\sqrt{n})\)的。

考虑左端点跨越块的情况，每次跨越最大是\(O(2*\sqrt{n})\)那么左端点跨越块的复杂度\(O(n*\sqrt{n})\)的。

又在这个期间，每次左端点跨越的时候，右端点可能要移动\(O(n)\)次，一共左端点跨越\(\sqrt{n}\)个块，所以右端点复杂度是\(O(n*\sqrt{n})\)的。

综上莫队算法的排序保证时间复杂度是\(O(n*\sqrt{n})\)的

带修改莫队算法的时间复杂度证明

以下内容借鉴自洛谷题解

原版莫队是将区间\((l,r)\)视为点\((l,r)\)，带修改的即加一维时间轴\((l,r,t)\)

对于\(t\)轴的移动可以保存每次修改，如果修改在\((l,r)\)间则更新

分块方法可以参照原版莫队，先将\(l\)分块，再讲\(r\)分块，同一块的按\(t\)排序

块大小为\(\sqrt [3] {nt}\)可以达到最快的理论复杂度\(O\left( \sqrt [3] {n^{4}t}\right)\)，证明如下

设分块大小为\(a\)，莫队算法时间复杂度主要为\(t\)轴移动，同\(r\)块\(l,r\)移动，\(l\)块间的\(r\)移动三部分

\(t\)轴移动的复杂度为\(O\left( \dfrac {n^{2}t}{a^{2}}\right)\)，同\(r\)块\(l,r\)移动复杂度为\(0\left( na\right)\)，\(l\)块间的\(r\)移动复杂度为\(0\left( \dfrac {n}{a}\right)\)

三个函数max的最小值当\(a\)为\(\sqrt [3] {nt}\)取得，为\(O\left( \sqrt [3] {n^{4}t}\right)\)