曼哈顿距离与切比雪夫距离及其相互转化
本文只讨论二维空间中的曼哈顿距离与切比雪夫距离
曼哈顿距离
定义
设平面空间内存在两点,它们的坐标为,
则
即两点横纵坐标差之和
煮个栗子
如图所示,图中两点的曼哈顿距离为
切比雪夫距离
定义
设平面空间内存在两点,它们的坐标为,
则
即两点横纵坐标差的最大值
再煮个栗子
两者之间的关系
两者的定义看上去好像毛线关系都没有,但实际上,这两种距离可以相互转化!
我们考虑最简单的情况,在一个二维坐标系中,设原点为
如果用曼哈顿距离表示,则与原点距离为的点会构成一个边长为的正方形
如果用切比雪夫距离表示,则与原点距离为的点会构成一个边长为的正方形
仔细对比这两个图形,我们会发现这两个图形长得差不多,他们应该可以通过某种变换互相转化。
事实上,
将一个点的坐标变为后,原坐标系中的曼哈顿距离 新坐标系中的切比雪夫距离
将一个点的坐标变为 后,原坐标系中的切比雪夫距离 新坐标系中的曼哈顿距离
用处
切比雪夫距离在计算的时候需要取,往往不是很好优化,对于一个点,计算其他点到该的距离的复杂度为
而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算,我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响,进而用前缀和优化,可以把复杂度降为
作者:自为风月马前卒
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