欧拉函数详解

目录

• 欧拉函数
• 性质
• 计算方法
  • $\sqrt(n)$计算单值欧拉函数
  • 线性筛
• 例题
• 参考资料

 

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欧拉函数

我们用$\phi(n)$表示欧拉函数

定义：$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

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性质

1.$\phi(n)$为积性函数

证明：

此处证明需要用到下面计算方法1中的内容，建议先看后面再回过头来看这里

假设存在$p,q$，且$p*q=n$

将$n,p,q$进行质因数分解

$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

$p=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_m^{p_m}$

$q=a_{m+1}^{p_{m+1}}*a_{m+2}^{m+2}...*a_k^{p_k}$

那么

$\varphi \left( n\right) =n\prod ^{k}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

$\varphi \left( a\right) =a\prod ^{m}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

$\varphi \left( b\right) =b\prod ^{k}_{i=m+1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

因为$n=a*b$

显然

$\varphi \left( n\right) =\varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right)$

这种方法也是常见的证明一个函数是积性函数的方法

 

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

证明：若$gcd(n, i) = 1$，那么$gcd(n, n - i) = 1$

因此与$n$互质的数都是成对出现的。且每一对的和都为$n$

这样最终答案为$n * \frac{\phi(n)}{2}$

4. $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$

：

 

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计算方法

$\sqrt(n)$计算单值欧拉函数

假设我们需要计算$\phi(n)$

分情况讨论

1.当$n=1$时

很明显，答案为$1$

2.当$n$为质数时

根据素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

3.当$n$为合数时

我们已经知道了$n$为素数的情况

不妨对$n$进行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥，与一个数互素的数的个数就是这个数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数，所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$....$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots }_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e7 + 10;
int p, ans = 1, N;
void GetPhi() {
    for(int i = 2; i * i <= p; i++) {
        if(p % i == 0) {
            int now = i - 1; p /= i;
            while(p % i == 0) now = now * i, p /= i;
            ans = ans * now;
        }
    }
    if(p != 1) ans *= (p - 1); 
}
int main() {
    cin >> p; N = p;
    GetPhi();
    cout << ans;
    return 0;
}

 

线性筛

因为欧拉函数是积性函数

因此可以使用线性筛法

性质1

若$p$为素数，则$\varphi \left( p\right) =p-1$

证明：

在$1-p$中，只有$(p,p)\neq1$

性质2

若$i\ mod\ p \neq  0$，且$p$为素数

则$\varphi \left( i*p\right) =\varphi \left( i\right) *\varphi \left( p\right)$

$=\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast \left( p-1\right)$

这一步同时利用了性质1和欧拉函数的积性

性质3

若$i\ mod \ p = 0$，且$p$为素数，

则$\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast p$

证明：

没怎么看懂，丢一个链接

http://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 3e5 + 10;
void GetPhi(int N) {
    static int phi[MAXN], vis[MAXN], prime[MAXN], tot = 0;
    for(int i = 2; i <= N; i++) {
        if(!vis[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(!(i % prime[j])) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
    while(cin >> N) cout << phi[N] << endl;
}
int main() {
    GetPhi(100);
    return 0;
}

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例题

放几道水题

http://poj.org/problem?id=2407

题解

http://poj.org/problem?id=2478

题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2158

题解

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参考资料

数论学习笔记 欧拉函数 （一些性质和运用）内置杜教筛