splay详解（一）
前言
Spaly是基于二叉查找树实现的，
什么是二叉查找树呢？就是一棵树呗:joy: ,但是这棵树满足性质—一个节点的左孩子一定比它小，右孩子一定比它大
比如说
这就是一棵最基本二叉查找树
对于每次插入，它的期望复杂度大约是$logn$级别的，但是存在极端情况，比如9999999 9999998 9999997.....1这种数据，会直接被卡成$n^2$
在这种情况下，平衡树出现了！
Splay简介
Splay是平衡树的一种，中文名为伸展树，由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator和罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan在1985年发明的(mmp怎么又是tarjan)
它的主要思想是：对于查找频率较高的节点，使其处于离根节点相对较近的节点。
这样就可以保证了查找的效率
那么现在问题来了：
- 什么样的点是查找频率高的点？
这个玩意儿确实不好统计，但是你可以认为每次被查找的点查找频率相对较高，说白了就是你把每次查找到的点搬到根节点去
当然你也可以每次查找之后随机一个点作为根，于是Treaplay这种数据结构就诞生啦
- 怎么实现把节点搬到根这种操作？
这也是Splay这种数据结构所要实现的功能，接下来我们详细的介绍一下
Splay基本操作
rotate
首先考虑一下，我们要把一个点挪到根，那我们首先要知道怎么让一个点挪到它的父节点
情况1
当X是Y的左孩子
这时候如果我们让X成为Y的父亲，只会影响到3个点的关系
B与X，X与Y，X与R
根据二叉排序树的性质
B会成为Y的左儿子
Y会成为X的右儿子
X会成为R的儿子，具体是什么儿子，这个要看Y是R的啥儿子
经过变换之后，大概是这样
情况2
当X是Y的右孩子
本质上和上面是一样的，
变换后为
这两种代码单独实现都比较简单，我就不写了(实际上是我懒)
但是这两种旋转情况很类似，第二种情况实际就是把第一种情况的X,Y换了换位置
我们考虑一下能不能将这两种情况合并起来实现呢？
答案是肯定的
首先我们要获取到每一个节点它是它爸爸的哪个孩子，可以这么写
bool ident(int x) { return tree[tree[x].fa].ch[0] == x ? 0 : 1; }
如果是左孩子的话会返回0，右孩子会返回1
那么我们不难得到R，Y，X这三个节点的信息
int Y = tree[x].fa; int R = tree[Y].fa; int Yson = ident(x); //x是y的哪个孩子 int Rson = ident(Y);
B的情况我们可以根据X的情况推算出来，根据^运算的性质，0^1=1,1^1=0,2^1=3,3^1=2，而且B相对于X的位置一定是与X相对于Y的位置是相反的
（否则在旋转的过程中不会对B产生影响）
int B = tree[x].ch[Yson ^ 1];
然后我们考虑连接的过程
根据上面的图，不难得到
B成为Y的哪个儿子与X是Y的哪个儿子是一样的
Y成为X的哪个儿子与X是Y的哪个儿子相反
X成为R的哪个儿子与Y是R的哪个儿子相同
connect(B, Y, Yson); connect(Y, x, Yson ^ 1); connect(x, R, Rson);
connect函数这么写，挺显然的
void connect(int x, int fa, int how) { //x节点将成为fa节点的how孩子 tree[x].fa = fa; tree[fa].ch[how] = x; }
单旋函数就是这样了，利用这个函数就可以实现把一个节点搬到它的爸爸那儿了，
Splay
Splay(x,to)是实现把x节点搬到to节点
最简单的办法，对于x这个节点，每次上旋直到to
但是！
如果你真的这么写，可能会T成SB，出题人可能会构造数据把单旋卡成$n^2$，不要问我为什么！(其实是我不知道)
一个感性的理解是这样的
把一个点双旋到根，可以使得从根到它的路径上的所有点的深度变为大约原来的一半，其它点的深度最多增加2
或者你可以了解一下为啥单旋是错的
下面我们介绍一下双旋的Splay
这里的情况有很多，但是总的来说就三种情况
1.to是x的爸爸，
这样的话吧x旋转上去就好
update in 2018.2.19
这里可能写错了一个地方（其实也没有写错）
因为我们在双旋的时候会改变三个点的关系，为了方别写，所以我们开始的时候把to设置为to的爸爸
if (tree[tree[x].fa].fa == to) rotate(x);
2.x和他爸爸和他爸爸的爸爸在一条线上
这时候先把Y旋转上去，再把X旋转上去就好
else if (ident(x) == ident(tree[x].fa)) rotate(tree[x].fa), rotate(x);
3.x和他爸爸和他爸爸的爸爸不在一条线上
这时候把X旋转两次就好
总的代码：
void splay(int x, int to) { to = tree[to].fa; while (tree[x].fa != to) { if (tree[tree[x].fa].fa == to) rotate(x); else if (ident(x) == ident(tree[x].fa)) rotate(tree[x].fa), rotate(x); else rotate(x), rotate(x); } }
后记
至此，Spaly的最核心最基本的操作已经讲解完毕
至于这玩意儿怎么用，以及能实现什么功能，且听下回分解
