树上倍增求LCA及例题
先瞎扯几句
树上倍增的经典应用是求两个节点的LCA
当然它的作用不仅限于求LCA，还可以维护节点的很多信息
求LCA的方法除了倍增之外，还有树链剖分、离线tarjan ，这两种日后再讲（众人：其实是你不会吧:unamused:。。。）
思想
树上倍增嘛，顾名思义就是倍增
相信倍增大家都不默认，著名的rmq问题的$O(n*logn)$的解法就是利用倍增实现的
在树上倍增中，我们用
$f[j][i]$表示第$j$号节点，跳了$2^j$步所能到达的节点
$deep[i]$表示$i$号节点的深度
然后用这两个数组瞎搞搞就能整出LCA来啦
众人：:wrench: :hammer: :hocho:
实现
deep&&f[i][0]
首先，$f[i][0]$(也就是一个节点的上面的节点)容易求得，只要对整棵树进行一边dfs就好，在dfs的时候我们顺便可以求出$deep$数组
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) if(!deep[edge[i].v]) deep[edge[i].v]=deep[now]+1,f[edge[i].v][0]=now,dfs(edge[i].v);
这段代码应该不难理解
f[j][i]
那么我们怎么维护$f$数组呢？
不难得到$f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1]$ 众人：难！
其实真的不难，一张图就可以解释明白啦
这句话的意思其实是说，一个节点跳$2^j$所能到达的节点实际上是跳$2^{i-1}$所能到达的节点再往上跳$2^{j-1}$步
注意$2^i=2^{i-1}+2^{i-1}$
代码：
for(int i=1;i<=19;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
LCA
接下来要进入最核心的部分啦，
我们如何用$deep$和$f$乱搞搞出$x$和$y$的LCA呢？
按照书上倍增算法的介绍
我们求LCA需要分为两步
设$deep[x]>deep[y]$
- 让$x$向上跳，跳到与$y$深度相同位置
- 让$x$和$y$同时向上跳，跳到祖先相同位置
根据二进制分解什么乱七八糟的，这么做一定是对的，其实这个挺显然的，yy一下就好了吧。。。
第一步
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); for(int i=19;i>=0;i--) if(deep[f[x][i]]>=deep[y]) x=f[x][i];
首先处理一下$x$和$y$的深度，保证$deep[x]>deep[y]$
然后尽量让$x$向上跳就好啦，注意这里是可以取到等号的
注意这里可能会出现一种特殊情况
这个时候他们的最近公共祖先就是$y$
if(x==y) return x;
第二步
同时向上跳，直到祖先相同为止
那么此时他们再向上跳一步所能到达的节点就是LCA啦
for(int i=19;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0];
怎么样？
是不是很简单？
完整代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN = 1000010; inline void read(int &n) { char c = getchar(); bool flag = 0; n = 0; while (c < '0' || c > '9') c == '-' ? flag = 1, c = getchar() : c = getchar(); while (c >= '0' && c <= '9') n = n * 10 + c - 48, c = getchar(); flag == 1 ? n = -n : n = n; } struct node { int v, nxt; } edge[MAXN]; int head[MAXN]; int num = 1; inline void add_edge(int x, int y) { edge[num].v = y; edge[num].nxt = head[x]; head[x] = num++; } int f[MAXN][21]; int deep[MAXN]; int n, m, root; void dfs(int now) { for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt) if (!deep[edge[i].v]) deep[edge[i].v] = deep[now] + 1, f[edge[i].v][0] = now, dfs(edge[i].v); } void PRE() { for (int i = 1; i <= 19; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1]; } int LCA(int x, int y) { if (deep[x] < deep[y]) swap(x, y); for (int i = 19; i >= 0; i--) if (deep[f[x][i]] >= deep[y]) x = f[x][i]; if (x == y) return x; for (int i = 19; i >= 0; i--) if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i]; return f[x][0]; } int main() { memset(head, -1, sizeof(head)); read(n); read(m); read(root); for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { int x, y; read(x); read(y); add_edge(x, y); add_edge(y, x); } deep[root] = 1; dfs(root); PRE(); for (int i = 1; i <= m; i++) { int x, y; read(x); read(y); printf("%d\n", LCA(x, y)); } return 0; }
例题
都是些入门难度的题目
洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6832524.html
POJ 1986 Distance Queries
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7791527.html
HDU 3078 Network
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7791617.html
