逆元的三种解法(附详细证明)

 

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什么是逆元？

若$x$满足

$a*x\equiv 1(\mod p)$

我们称$x$是$a$在$\mod p$意义下的逆元

 

逆元的基本解法

https://loj.ac/problem/110

1.快速幂

当p为素数

根据费马小定理

$a^{(p-1)}\equiv 1(mod p)$

${\color{Green}a*a^{(p-2)}\equiv 1(mod p) }$

 

带入快速幂就好啦

时间复杂度:$O(log_2^p)$

#include<cstdio>
#define LL long long 
using namespace std;
const LL MAXN=200000001;
LL n,mod;
LL fastpow(LL val,LL p)
{
    LL base=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)    base=(base*val)%mod;
        val=(val*val)%mod;
        p>>=1;
    }
    return base;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld\n",fastpow(i,mod-2)%mod);
    return 0;
}

2.扩展欧几里得

对于$a*x\equiv 1(mod p)$

他的另一种写法为

$a*x+p*y=1$（想一想,为什么）

扩展欧几里得,带入求解

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,mod;
inline int read()
{
    char c=getchar();int  flag=1,x=0;
    while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
}
int x,y;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
    return r;
}
int main()
{
    n=read(),mod=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int g=exgcd(i,mod,x,y);
        while(x<0)    x+=mod;
        printf("%d\n",x);
    }
    return 0;
}

时间复杂度:$O(log_2^n)$

 

 3.递推

前两种方法常用来求单个逆元

对于逆元的需要量比较大的时候，我们可以使用递推的方法来求逆元

前提条件：$P$为素数

推导过程

设$t=P/i$
$k=P \mod i$

显然有

$t*i+k \equiv  0 (\mod P)$

$k \equiv -t*i(\mod P)$

两侧同除$i*k$,把$t$和$k$带入

$inv[i] \equiv -p/i*inv[p \mod i] (\mod p)$

这里需要注意一个事情，

对于 $a\mod p$当$a<0$时，

应为$(a+p) \mod p$

这样就可以把原式的$\mod p$消掉，得

$inv[i]=P-P/i*inv[P\mod i]$

这样就可以进行线性的递推啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL unsigned long long 
using namespace std;
const LL MAXN=200000001;
inline LL read()
{
    char c=getchar();LL flag=1,x=0;
    while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
}
LL inv[MAXN];
LL n,p;
int main()
{
    n=read(),p=read();
    inv[1]=1;
    printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d\n",inv[i]);
    }
    return 0;
}

 

时间复杂度：$O(n)$

总结

在求多个数的逆元的时候，推荐使用递推算法

在求单个数的逆元的时候，推荐使用扩展欧几里得算法

因为扩展欧几里得算法不受模数的限制，而且自测运行效率比快速幂高不少