P1146 硬币翻转

题目描述

在桌面上有一排硬币，共N枚，每一枚硬币均为正面朝上。现在要把所有的硬币翻转成反面朝上，规则是每次可翻转任意N-1枚硬币（正面向上的被翻转为反面向上，反之亦然）。求一个最短的操作序列（将每次翻转N-1枚硬币成为一次操作）。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有一行，包含一个自然数N（N为不大于100的偶数）。

 

输出格式：

 

输出文件的第一行包含一个整数S，表示最少需要的操作次数。接下来的S行每行分别表示每次操作后桌上硬币的状态（一行包含N个整数（0或1），表示每个硬币的状态：0――正面向上，和1――反面向上，不允许出现多余空格）。

对于有多种操作方案的情况，则只需字典序最小输出一种。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

4
0111
1100
0001
1111

数学方法：第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

下面给出文字证明：

证明1

定义翻某n-1个为A类操作。

定义B操作，是把所有的硬币全部翻面。

定义C操作，是翻某一个硬币。

题主的问题是若干次A操作之后能否达到某个状态，而一个A操作等同于做一次B一次C，注意到B和C操作是可交换的，因此可以理解为先做若干次数的C操作，然后再做相同次数的B操作。

而做若干次C操作相当于一个一个硬币地翻，所以第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

证明2

当然，也可以这样解释：做一个很简单的变换--把每次翻转5个硬币，分解成两步：

1、把一个硬币翻转一次；

2、把所有的硬币翻转一次

如果p为偶数，那么上面的第二步实际上被抵消了，所以相当于每次只做第一步。所以p=6.

如果p是奇数，那么相当于每次只做第一步，最后把所有的硬币翻一次面，这等价于只做奇数次第一步，最后保持所有的硬币仍然是正面向上，这显然是不能做到的。

综上，p=6

证明3

要让所有硬币翻过来，要做的就是每个硬币翻奇数次。

总共六个硬币，每次翻五个。

那么情况就只有每个硬币翻一次、三次、五次。

但是每次只能翻五个，不能多不能少，所以就要求总共翻的次数是5的整倍数。

所以就是每个硬币翻五次。总共翻了5x6=30次

每次翻5个

30/5=6次

答：最少翻六次

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[10001];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin>>n;
    cout<<n<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j!=i)
            {
                a[j]==1?a[j]=0:a[j]=1;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cout<<a[i];
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}