分块之区间修改与单点查询

给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

 

这是一道能用许多数据结构优化的经典题，可以用于不同数据结构训练。

数列分块就是把数列中每m个元素打包起来，达到优化算法的目的。

 

以此题为例，如果我们把每m个元素分为一块，共有n/m块，每次区间加的操作会涉及O(n/m)个整块，以及区间两侧两个不完整的块中至多2m个元素。

我们给每个块设置一个加法标记（就是记录这个块中元素一起加了多少），每次操作对每个整块直接O(1)标记，而不完整的块由于元素比较少，暴力修改元素的值。

每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记。

这样每次操作的复杂度是O(n/m)+O(m)，根据均值不等式，当m取√n时总复杂度最低，为了方便，我们都默认下文的分块大小为√n。

 

区间加法

void interval_add(int ll,int rr,int v)
{
    for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
    //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况，也就是ll在他实际块最左端的右侧，
    // 然后便利ll-所在块的结尾/rr，暴力增加 
        a[i]+=v; 
    if(where[ll]!=where[rr])
    // 注意如果是ll和rr在一个块中的话，上面已经加过一边，所以不用加 
    {
        for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
        // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
        // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
        // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
        // 一直到rr暴力增加 
            a[i]+=v;    
    }    
    for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
    //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过，所以只枚举中间的块就可以 
        add[i]+=v;
} 

单点查询

 printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]); 

 

完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=100001;
int n,q,m,how,l,r,v;
int a[MAXN];// 初始值
int add[MAXN];// 后来每个块上加入的值
int where[MAXN];// 记录每一个值对应第几块
void interval_add(int ll,int rr,int v)
{
    for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
    //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况，也就是ll在他实际块最左端的右侧，
    // 然后便利ll-所在块的结尾/rr，暴力增加 
        a[i]+=v; 
    if(where[ll]!=where[rr])
    // 注意如果是ll和rr在一个块中的话，上面已经加过一边，所以不用加 
    {
        for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
        // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
        // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
        // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
        // 一直到rr暴力增加 
            a[i]+=v;    
    }    
    for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
    //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过，所以只枚举中间的块就可以 
        add[i]+=v;
} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    m=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        where[i]=(i-1)/m+1;// 这里的i可以-1(hzwer写的是-1)也可以不写，不写的话第一块的元素个数会是m-1 
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&how);
        if(how==1)// 区间加
        {
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&v);
            interval_add(l,r,v);
        }
        else// 单点查询 
        {
            scanf("%d",&v);
            printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]);
            // where保存的是这个点所属的块，add表示这个块已经增加的元素
            //a[v]是这个点开始的值，一加就是答案 
        } 
    }
    return 0;
}