高效判断素数方法
孪生素数: 所谓孪生素数指的是间隔为 2 的相邻素数,它们之间的距离已经近得不能再近了。
若n≥6且n-1和n+1为孪生素数,那么n一定是6的倍数。
证明:
∵ n-1和n+1是素数 ┈┈┈┈┈ ①
∴ n-1和n+1是奇数
∴ n是偶数,即n是2的倍数 ┈┈┈┈┈ ②
假设n不是3的倍数,得:
n=3x+1 或 n=3x+2,
如果n=3x+1,则n-1=3x,与①违背,故n≠3x+1;
如果n=3x+2,则n+1=3(x+1),与①违背,故n≠3x+2;
∴假设不成立,即n是3的倍数,又有②得结论:
n是6的倍数。
由上面的规律可以推出下面结论:
若x≧1且n=6x-1或n=6x+1不是素数,那么n一定不是2和3的倍数。
证明:
∵n=6x-1或n=6x+1,即n=2(3x)-1或n=2(3x)+1或n=3(2x)-1或n=3(2x)+1。
∴n一定不是2和3的倍数。
素数出现规律:
当n≧5时,如果n为素数,那么n mod 6 = 1 或 n mod 6 = 5,即n一定出现在6x(x≥1)两侧。
证明:
当x≥1时,有如下表示方法:
┈┈ 6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1┈┈
不在6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,即2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),它们一定不是素数,所以素数一定出现在6x的两侧。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #define LL long long 6 using namespace std; 7 int n,m,p; 8 bool judge(int num) 9 { 10 if(num==2||num==3) 11 return true; 12 13 if(num%6!=1&&num%6!=5) 14 return false; 15 16 for(int i=5;i*i<=num;i+=6) 17 if(num%i==0||num%(i+2)==0) 18 return false; 19 20 return true; 21 } 22 int main() 23 { 24 scanf("%d%d",&n,&m); 25 for(int i=1;i<=m;i++) 26 { 27 scanf("%d",&p); 28 if(judge(p)&&p!=1)printf("Yes\n"); 29 else printf("No\n"); 30 } 31 return 0; 32 }
作者:自为风月马前卒
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