Stirling数
第一类:
定义
第一类Stirling数表示表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。又根据正负性分为无符号第一类Stirling数
和带符号第一类Stirling数
。有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于二项式系数[3] ],形式如下:
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D56/sign=e86d359d09b30f24319aec05ca9543e7/d6ca7bcb0a46f21f2dedc0aff0246b600d33ae75.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D54/sign=dd0b1acc3cf33a879a6d001ec75ccdb3/241f95cad1c8a786c125d3f26109c93d70cf503a.jpg)
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D343/sign=cede7d736a81800a6ae58f0a823433d6/d31b0ef41bd5ad6ec242e01687cb39dbb7fd3c96.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D346/sign=1d8330073fdbb6fd215be3223f25aba6/cefc1e178a82b90106c947cf758da9773812efe2.jpg)
对于有无符号Stirling数之间的关系有
。组合数学中的第一类Stirling数一般指无符号的第一类Stirling数。意思是n个不同元素构成m个圆排列的方案数。
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D186/sign=9a93bc381dd5ad6eaef960e2b7ca39a3/b64543a98226cffc569f384ebf014a90f703ea91.jpg)
所以
f(a,b)=f(a,b-1)+f(a-b,b)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int t;//测试数据数量 7 int n;//苹果数 8 int m; //盘子数 9 int tot=0;//最多有几种放法 10 int f(int a,int b) 11 { 12 if(a<=1||b<=1)//当只有一个苹果或一个盘时,只有一种放法 13 return 1; 14 if(a<b) 15 return f(a,a);//苹果数<盘数,则最多只有b个盘有苹果 16 else 17 return f(a,b-1)+f(a-b,b);///如果有一个不放,则有 f(a,b-1)种;如果每个都放,则相当于 f(a-b,b) 18 } 19 int main() 20 { 21 22 cin>>t; 23 for(int i=1;i<=t;i++) 24 { 25 cin>>m>>n; 26 cout<<f(m,n)<<endl; 27 } 28 return 0; }
第二类:
定义
第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为
或者
。和第一类Stirling数不同的是,集合内是不考虑次序的,而圆排列是有序的。常常用于解决组合数学中几类放球模型。描述为:将n个不同的球放入m个无差别的盒子中,要求盒子非空,有几种方案?
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D51/sign=bd7e0b6dcb11728b342d8c23c9fc647a/1c950a7b02087bf466afd315f4d3572c10dfcf8f.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D44/sign=45ffc73c84025aafd7327fcff9ed5ae9/eaf81a4c510fd9f943c6d495232dd42a2934a47d.jpg)
所以:
f(n,m)=f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int t; 7 int n; 8 int m; 9 int tot=0; 10 int f(int a,int b) 11 { 12 if(a<=1||b<=1) 13 return 1; 14 if(a<b) 15 return f(a,a); 16 else 17 return f(a-1,b-1)+f(a-1,b)*b; 18 } 19 int main() 20 { 21 22 cin>>t; 23 for(int i=1;i<=t;i++) 24 { 25 cin>>m>>n; 26 cout<<f(m,n)<<endl; 27 } 28 return 0; 29 }
作者:自为风月马前卒
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