浅谈贝叶斯公式

感觉这玩意儿挺好玩的，顺便填一下以前留下的坑。

有些内容是抄袭的以前的文章，有些是自己瞎编的。

warning：博主并不知道什么叫深度学习/机器学习/AI，只是一个数学爱好者/oier

独立

独立：对于事件\(A\)和\(B\)，如果\(P(AB)\)=\(P(A)P(B)\)，那么称\(A\)和\(B\)是独立的。

所谓独立，最直观的理解即两事件的结果不会相互影响。

条件概率

如果\(P(B)>0\)，那么\(A\)在\(B\)下的条件概率为

\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

特别的，如果\(A\)与\(B\)独立，那么\(P(A | B) = P(A)\)

同时移项之后我们也会得到一个显然的公式：\(P(AB) = P(A |B) P(B)\)，那么同时\(P(AB) = P(B | A) P(A)\)

关于条件概率一种不错的理解方式(引自这里)

条件概率\(P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\)就是紫色部分的面积占右边整个圆圈的比例

贝叶斯公式

对于事件\(A\)和\(B\)，如果\(P(A)>0\)且\(P(B)>0\)，那么

\[P(A|B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)} \]

这个公式的证明是显然的，我们直接把推导的第二个公式带入条件概率公式即可

观察一下这个公式，我们实际上有四个未知量(左\(1\)右\(3\))，而在题目中往往会告诉我们\(P(AB)\)或\(P(B | A)P(A)\)，此时我们还需要求解\(P(B)\)

但是\(P(B)\)的决定因素可能不止与一个事件有关(这里可能有些抽象，等下会有例子。)

这里我们会用到全概率公式

全概率公式

如果样本空间可以被划分为两两互斥的若干部分\(A_1,\ldots,A_k\)，那么

\[P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(B\mid A_i)P(A_i) \]

举个例子，样本空间被划分成了\(A\)和\(A'\)，此时我们可以用全概率公式来计算\(B\)事件发生的概率

\(P(B) = P(B | A) P(A) + P(B | A') P(A')\)

这个公式可以用来处理\(P(B)\)不好直接计算的情况

现在回过头来，我们把全概率公式回带到贝叶斯公式中，我们就得到了一种船新的表示形式

如果我们得到了样本空间的一个划分\(A_1,\ldots,A_k\)，结合全概率公式，对于任意\(1\leq i\leq k\)有

\[P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)P(A_j)} \]

下面来看两道水题

例题

垃圾邮件识别

(题目是我自己xjb起的)

Descripiton

一个用户所有邮件分为两类：\(A_1\)代表垃圾邮件， \(A_2\)代表非垃圾邮件

根据经验，\(P(A_1) = 0.7\)， \(P(A_2) = 0.3\)。

令\(B\)表示邮件包含“免费”这一关键词，由历史邮件得知， \(P(B|A_1) = 0.9\)，

\(P(B|A_2) = 0.01\)（注意：它们之和并不一定等于\(1\)）。

问若收到一封新邮件，包含了“免费”这一关键字，那么它是垃圾邮件的概率是多少

Solution

题目要求的实际是\(P(A_1|B)\)

根据条件概率公式

\[P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)} \]

转换为贝叶斯公式

\[P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} \]

将分式底下\(P(B)\)这一项用全概率公式展开

\[P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)} \]

然后就可以算了

\[P(A_1|B)=\frac{0.9*0.7}{0.9*0.7+0.01*0.3} \]

\[\approx 0.995260663507109004739336492891 \% \]

好恐怖。。

次品识别问题

(也是我自己xjb起的)

Description

例1设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的\(25 \%, 35 \%, 40 \%\),而且各车间的次品率依次为\(5 \%,4 \%, 2 \%\).现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率

Solution

设\(P(A_i)\)表示是由第\(i\)个车间生产的概率，\(P(B)\)表示生产出次品的概率，直接带入公式算即可

\(P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2)P(A_2) + P(B | A_3) P(A_3}\)

\(P(A_1 | B) = \frac{0.25 * 0.05}{0.25 * 0.05 + 0.35 * 0.04 + 0.4 * 0.02} \approx 0.36231\)

总结

通过以上瞎扯不难看出，贝叶斯公式在一类"逆概率"问题中比较常用，按理说应该是非常常见的概率只是，但是我还真没找到几道正经的OI题qwq

而且本文章中没有出现“先验概率”“后验概率”“似然函数”等字眼，原因是因为博主太菜了根本不知道怎么去解释。。

这篇文章只是从最简单的理论层面列出了几个公式，有兴趣的大佬可以深入学习

参考资料

《浅析信息学竞赛中概率论的基础与应用》——2013年胡渊明国家集训队论文

怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理(Bayes's theorem)?