浅谈贝叶斯公式

目录

• 独立
• 条件概率
• 贝叶斯公式
  • 全概率公式
• 例题
  • 垃圾邮件识别
  • 次品识别问题
• 总结
• 参考资料

 

---

感觉这玩意儿挺好玩的，顺便填一下以前留下的坑。

有些内容是抄袭的以前的文章，有些是自己瞎编的。

warning：博主并不知道什么叫深度学习/机器学习/AI，只是一个数学爱好者/oier

回到顶部

独立

独立：对于事件$A$和$B$，如果$P(AB)$=$P(A)P(B)$，那么称$A$和$B$是独立的。

所谓独立，最直观的理解即两事件的结果不会相互影响。

回到顶部

条件概率

如果$P(B)>0$，那么$A$在$B$下的条件概率为

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

特别的，如果$A$与$B$独立，那么$P(A | B) = P(A)$

同时移项之后我们也会得到一个显然的公式：$P(AB) = P(A |B) P(B)$，那么同时$P(AB) = P(B | A) P(A)$

关于条件概率一种不错的理解方式(引自这里)

条件概率$P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$就是紫色部分的面积占右边整个圆圈的比例

回到顶部

贝叶斯公式

对于事件$A$和$B$，如果$P(A)>0$且$P(B)>0$，那么

$$P(A|B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$

这个公式的证明是显然的，我们直接把推导的第二个公式带入条件概率公式即可

观察一下这个公式，我们实际上有四个未知量(左$1$右$3$)，而在题目中往往会告诉我们$P(AB)$或$P(B | A)P(A)$，此时我们还需要求解$P(B)$

但是$P(B)$的决定因素可能不止与一个事件有关(这里可能有些抽象，等下会有例子。)

这里我们会用到全概率公式

全概率公式

如果样本空间可以被划分为两两互斥的若干部分$A_1,\ldots,A_k$，那么

$$P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(B\mid A_i)P(A_i)$$

举个例子，样本空间被划分成了$A$和$A'$，此时我们可以用全概率公式来计算$B$事件发生的概率

$P(B) = P(B | A) P(A) + P(B | A') P(A')$

这个公式可以用来处理$P(B)$不好直接计算的情况

现在回过头来，我们把全概率公式回带到贝叶斯公式中，我们就得到了一种船新的表示形式

如果我们得到了样本空间的一个划分$A_1,\ldots,A_k$，结合全概率公式，对于任意$1\leq i\leq k$有

$$P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)P(A_j)}$$

下面来看两道水题

回到顶部

例题

垃圾邮件识别

(题目是我自己xjb起的)

Descripiton

一个用户所有邮件分为两类：$A_1$代表垃圾邮件， $A_2$代表非垃圾邮件

根据经验，$P(A_1) = 0.7$， $P(A_2) = 0.3$。

令$B$表示邮件包含“免费”这一关键词，由历史邮件得知， $P(B|A_1) = 0.9$，

$P(B|A_2) = 0.01$（注意：它们之和并不一定等于$1$）。

问若收到一封新邮件，包含了“免费”这一关键字，那么它是垃圾邮件的概率是多少

Solution

题目要求的实际是$P(A_1|B)$

根据条件概率公式

$$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}$$

转换为贝叶斯公式

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}$$

将分式底下$P(B)$这一项用全概率公式展开

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}$$

然后就可以算了

$$P(A_1|B)=\frac{0.9*0.7}{0.9*0.7+0.01*0.3}$$

$$\approx 0.995260663507109004739336492891 \%$$

好恐怖。。

次品识别问题

(也是我自己xjb起的)

Description

例1设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的$25 \%, 35 \%, 40 \%$,而且各车间的次品率依次为$5 \%,4 \%, 2 \%$.现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率

Solution

设$P(A_i)$表示是由第$i$个车间生产的概率，$P(B)$表示生产出次品的概率，直接带入公式算即可

$P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2)P(A_2) + P(B | A_3) P(A_3}$

$P(A_1 | B) = \frac{0.25 * 0.05}{0.25 * 0.05 + 0.35 * 0.04 + 0.4 * 0.02} \approx 0.36231$

回到顶部

总结

通过以上瞎扯不难看出，贝叶斯公式在一类"逆概率"问题中比较常用，按理说应该是非常常见的概率只是，但是我还真没找到几道正经的OI题qwq

而且本文章中没有出现“先验概率”“后验概率”“似然函数”等字眼，原因是因为博主太菜了根本不知道怎么去解释。。

这篇文章只是从最简单的理论层面列出了几个公式，有兴趣的大佬可以深入学习

回到顶部

参考资料

《浅析信息学竞赛中概率论的基础与应用》——2013年胡渊明国家集训队论文

怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理(Bayes's theorem)?