拉格朗日插值学习小结

简介

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。

拉格朗日插值法

众所周知，\(n + 1\)个\(x\)坐标不同的点可以确定唯一的最高为\(n\)次的多项式。在算法竞赛中，我们常常会碰到一类题目，题目中直接或间接的给出了\(n+1\)个点，让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值

一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数，但是这样做复杂度巨大\((n^3)\)且根据算法实现不同往往会存在精度问题

而拉格朗日插值法可以在\(n^2\)的复杂度内完美解决上述问题

假设该多项式为\(f(x)\), 第\(i\)个点的坐标为\((x_i, y_i)\)，我们需要找到该多项式在\(k\)点的取值

根据拉格朗日插值法

\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]} \]

乍一看可能不是很好理解，我们来举个例子理解一下

假设给出的三个点为\((1, 3)(2, 7)(3, 13)\)

直接把\(f(k)展开\)

\(f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}\)

观察不难得到，如果我们把\(x_i\)带入的话，除第\(i\)项外的每一项的分子中都会有\(x_i - x_i\)，这样其他的所有项就都被消去了

因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的

下面说一下拉格朗日插值法的拓展

在\(x\)取值连续时的做法

在绝大多数题目中我们需要用到的\(x_i\)的取值都是连续的，这样的话我们可以把上面的算法优化到\(O(n)\)复杂度

首先把\(x_i\)换成\(i\)，新的式子为

\(f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)

考虑如何快速计算\(\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)

对于分子来说，我们维护出关于\(k\)的前缀积和后缀积，也就是

\[pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j \]

\[suf_i = \prod_{j = i}^n k - j \]

对于分母来说，观察发现这其实就是阶乘的形式，我们用\(fac[i]\)来表示\(i!\)

那么式子就变成了

\[f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i] * fac[N - i]} \]

注意:分母可能会出现符号问题，也就是说，当\(N - i\)为奇数时，分母应该取负号

重心拉格朗日插值法

再来看一下前面的式子

\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]} \]

设\(g = \prod_{i=1}^n k - x[i]\)

\[f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])} \]

设\(t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}\)

\[f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])} \]

这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的\(t_i\)即可

应用

经典应用

首先讲一个经典应用：计算\(\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)\)

老祖宗告诉我们，这个东西是个以\(n\)为自变量的\(k + 1\)次多项式，具体证明可以看第二份参考资料

然后直接带入\(k+1\)个点后用拉格朗日插值算即可，复杂度\(O(k)\)

那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢？

首先你要证明求的东西是某个多项式，判断的依据是：

大部分情况下归纳一下就可以了

题目

由易到难排列

洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎

BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc

BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较

BZOJ2655: calc

参考资料

拉格朗日插值法

差分的应用及正整数的k次方幂求和

拉格朗日插值法及应用

拉格朗日插值 学习笔记