二叉树与二叉树的遍历

(一)二叉树的概念：

　　二叉树是数结构的一种，特指每个节点最多有两个子树的树结构，即节点的度，通常情况下，子树被称为“左子树”和“右子树”，一个简单的二叉树结构如图1所示，该结构常被用于“二叉查找树”和“二叉堆”。

图1 简单的二叉树

树和二叉树的三个主要差别：

1. 树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；
2. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
3. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

满二叉树与完全二叉树：

1. 满二叉树：一棵深度为k，且有个节点成为满二叉树，这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数；
2. 完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。

 

如图2所示。具有n个节点的完全二叉树的深度为。深度为k的完全二叉树，至少有个节点，至多有个节点。

 

图2 完全二叉树与满二叉树

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有个结点；深度为k的二叉树至多有个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为，度为2的结点数为，则，如图3所示。

 

图3 子节点与度

(二)二叉树的遍历算法：

　　1.前序遍历：首先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树，可记录为根—左—右；

　　2.中序遍历：首先访问左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树，可记录为左—根—右；

　　3.后序遍历：首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后遍历根节点，可记录为左—右—根。

　　例1：如图4所示的二叉树，若按前序遍历，则其输出序列为(   )。若按中序遍历，则其输出序列为(  ) 。若按后序遍历，则其输出序列为(  )。

 

图4

　　前序：根A，A的左子树B，B的左子树没有，看右子树，为D，所以A-B-D。再来看A的右子树，根C，左子树E，E的左子树F，E的右子树G，G的左子树为H，没有了结束。连起来为C-E-F-G-H,最后结果为ABDCEFGH

　　中序：先访问根的左子树,B没有左子树，其有右子树D，D无左子树，下面访问树的根A，连起来是BDA。

再访问根的右子树，C的左子树的左子树是F，F的根E，E的右子树有左子树是H，再从H出发找到G，到此C的左子树结束，找到根C，无右子树，结束。连起来是FEHGC,  中序结果连起来是BDAFEHGC

　　后序：B无左子树，有右子树D，再到根B。再看右子树，最下面的左子树是F，其根的右子树的左子树是H，再到H的根G，再到G的根E，E的根C无右子树了，直接到C，这时再和B找它们其有的根A，所以连起来是DBFHGECA

　　例2:有下图5所示二叉树，对此二叉树前序遍历的结果为（    ）。

 

图5

　　　　A）ACBEDGFH                                          B）ABDGCEHF

　　　　C）HGFEDCBA                                          D）ABCDEFGH

 

解析：先根A，左子树先根B，B无左子树，其右子树，先根D，在左子树G，连起来是ABDG。 A的右子树，先根C，C左子树E，E无左子树，有右子树为H，C的右子树只有F，连起来是CEHF。整个连起来是B答案 ABDGCEHF。

 

　　例3：已知二叉树后序遍历是DABEC，中序遍历序列是DEBAC，它的前序遍历序列是(       )  。

　　A）CEDBA  B）ACBED C）DECAB D）DEABC

 

解析：由后序遍历可知，C为根结点，由中序遍历可知，C左边的是左子树含DEBA，C右边无结点，知根结点无右子树。先序遍历先访问根C，答案中只有A以C开头，为正确答案。

 

　　例4：如下二叉树中序遍历的结果是（　　）。

图6 

　　A). ACBDFEG  B). ACBDFGE  C).ABDCGEF  D).FCADBEG

解析:首先中序遍历根F会把左右子树分开，F不会在答案的开头和结尾，排除C和D。在看F的右子树，G是E的右子树，中序遍历先访问E，再访问G，E在G前面，排除B。答案为A。

 

　　例5：如下二叉树后序遍历的结果是（　　）。

图7

　　A)  ABCDEF  B) DBEAFC  C)ABDECF  D)DEBFCA

　　解析：后序的最后一个必须是二叉树的根，快速判断答案为D。