2022.10.22-D 括号序列

题意

一个字符串是“好”的，需要存在一个长度相等的合法括号序列，满足：

• 对于一对匹配的括号，它在字符串上对应位置的字母相同。

现在给出一个仅有小写字母组成的字符串 \(S\)，问有多少个子串 是“好”的。

\(|S| \le 1e6\)

---

思路

没有很看懂官方题解对于那个结论的证明，这里提供由 lby 大佬想到的不同解法：

官方题解也有提到，判断一个串是否合法，就是开一个栈，如果当前字母与栈顶字母相同，那么就弹出；否则就将当前字母加入栈中。最后如果栈为空，那么就是合法子串。

我们记录 \(ans_i\) 表示以 \(i\) 为左端点的合法串的个数。

当我们进行判断的过程中，一旦栈为空，那么我们其实就可以停止了，这时答案数就是 \(ans_i=ans_{j+1}+1\)（假如是在 \(j\) 处停止的），因为 \(j+1\) 是一个相同的子问题。

那么其实就是找到右边最靠近 \(i\) 的 \(j\)，使得 \(s_{i,j}\) 是一个合法串。

这显然有 \(s_i=s_j\)。

所以我们考虑开一个数组 \(x[i][j]\)，表示 \(s_{i,k}\) 是合法串，\(s_{k+1}=j\) 的最小 \(k\)。

当我们固定 \(i\) 为左端点时，我们就取出 \(x[i+1][s_i]\)，记为 \(r\)；

注意，当 \(s_i=s_{i+1}\) 时，\(r=i+1\)。

这样我们就能有 \(ans_i=ans_{r+1}+1\)。

那怎么更新 \(x\) 呢？

很简单，我们将 \(x_{r+1}\) 都迁移到 \(x_i\) 就行了。

然后 \(x[i][s_{r+1}]=r+1\)，显然满足我们上面的定义。

---

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define max(x...) std::max({x})
#define min(x...) std::min({x})
#define FOR(i, x, y) for(int i = (x); i <= (y); i++)
#define ROF(i, x, y) for(int i = (x); i >= (y); i--)
inline int rd()
{
    int sign = 1, re = 0; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c == '-') sign = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)){re = re * 10 + (c - '0'); c = getchar();}
    return sign * re;
}
char s[1000005];
int x[1000005][26];
LL ans[1000005], sum;
signed main()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
    freopen("bracket.in", "r", stdin);
    freopen("bracket.out", "w", stdout);
#endif
    scanf("%s", s + 1); int n = strlen(s + 1);
    FOR(i, 1, n + 1) FOR(j, 0, 25) x[i][j] = n + 1;
    ROF(i, n, 1)
    {
        int r = x[i + 1][s[i] - 'a'];
        if(i < n && s[i + 1] == s[i]) r = i + 1; 
        if(r <= n)
        {
            FOR(j, 0, 25) x[i][j] = x[r + 1][j];
            if(r < n) x[i][s[r + 1] - 'a'] = r + 1;
            ans[i] = ans[r + 1] + 1;
        }
        sum += ans[i];
    }
    printf("%lld", sum % 998244353);
    return 0;
}