P4383 [八省联考 2018] 林克卡特树

传送门

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思路

DP 基础还是不扎实啊

问题是将树拆成 $k+1$ 个连通块，每个连通块求出一个直径，将这些直径依次相连，最后输出总直径的长度

我们考虑 $O(nk)$ 的树形 DP

我们设 $dp_{i,j}$ 表示 $i$ 子树中，有 $j$ 个连通块，它们的直径和的最大值

但要直接转移似乎很艰难

我们考虑点 $i$ 在不在所属连通块的直径上，以及它所在的位置

用 $0,1,2$ 分别表示 $i$ 不在直径上，在直径的端点上，在直径中间

那我们现在来考虑转移：

对于子树 $u$ 以及它的儿子 $v$，它们之间的边做不做为直径的一部分是关键：

1. $(u,v)$ 不作为直径的一部分

那么就是 $dp_v$ 与 $dp_u$ 的简单相加

2. $(u,v)$ 作为直径的一部分

首先，这里不可能出现 $dp_{2,v}$ 与 $dp_{2,u}$ 的相加，因为都在各自的直径中间，无法再组成直径

那么点 $u$ 就会从 $0$ 变 $1$，或者从 $1$ 变 $2$

因此我们整理得转移方程：

$$dp_{0,~u,~i}=\max(dp_{0,~u,~i},~dp_{0,~u,~i-j}+dp_{0,~v,~j})$$

$$dp_{1,~u,~i}=\max(dp_{1,~u,~i},~dp_{1,~u,~i-j}+dp_{0,~v,~j},~dp_{0,~u,~i-j}+dp_{1,~u,~j}+e[i].w)$$

$$dp_{2,~u,~i}=\max(dp_{2,~u,~i},~dp_{1,~u,~i-j-1}+dp_{1,~v,~j}+e[i].w,~dp_{2,~u,~i-j}+dp_{0,~v,~j})$$

最后将所有情况都集中到 $0$ 处：

$$dp_{0,~u,~i}=\max(dp_{0,~u,~i},~dp_{1,u~,i-1},~dp_{2,~u,~i})$$

现在考虑用 WQS 二分优化

注意初始化以及更新时的一些细节

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代码

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#define LL long long
#define FOR(i, x, y) for(int i = (x); i <= (y); i++)
#define ROF(i, x, y) for(int i = (x); i >= (y); i--)
#define PFOR(i, x) for(int i = he[x]; i; i = e[i].nxt)
inline int rd()
{
    int sign = 1, re = 0; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') sign = -1; c = getchar();}
    while('0' <= c && c <= '9'){re = re * 10 + (c - '0'); c = getchar();}
    return sign * re;
}
int n, k;
struct Node
{
    int to, nxt, w;
}e[600005]; int he[300005];
inline void Edge_add(int u, int v, int w)
{
    static int cnt = 0;
    e[++cnt] = (Node){v, he[u], w};
    he[u] = cnt;
}
LL pos, l = -3e11, r = 3e11, dec;
#define pii std::pair<LL, int>
#define mp std::make_pair
#define fi first
#define se second
inline bool operator < (const pii a, const pii b) {return a.fi == b.fi ? a.se > b.se : a.fi < b.fi;}
inline pii operator + (const pii a, const pii b) {return mp(a.fi + b.fi, a.se + b.se);}
inline pii operator + (const pii a, const LL b) {return mp(a.fi + b, a.se);}
inline pii nl(pii a) {return mp(a.fi - dec, a.se + 1);}
pii dp[300005][3];
inline void dfs(int now, int fa)
{
    dp[now][2] = max(dp[now][2], mp(-dec, 1));
    PFOR(i, now)
    {
        int to = e[i].to;
        if(to == fa) continue;
        dfs(to, now);
        dp[now][2] = max(nl(dp[now][1] + dp[to][1] + e[i].w), dp[now][2] + dp[to][0]);
        dp[now][1] = max(dp[now][0] + dp[to][1] + e[i].w, dp[now][1] + dp[to][0]);
        dp[now][0] = dp[now][0] + dp[to][0];
    }
    dp[now][0] = max(dp[now][0], max(nl(dp[now][1]), dp[now][2]));
}
inline int chk(LL mid)
{
    dec = mid;
    FOR(i, 1, n) dp[i][0] = dp[i][1] = dp[i][2] = mp(0, 0);
    dfs(1, 0);
    return dp[1][0].se;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    n = rd(), k = rd() + 1;
    FOR(i, 1, n - 1)
    {
        int u = rd(), v = rd(), w = rd();
        Edge_add(u, v, w), Edge_add(v, u, w);
    }
    while(l <= r)
    {
        LL mid = (l + r) >> 1;
        if(chk(mid) < k) r = mid - 1;
        else pos = mid, l = mid + 1;
    }
    chk(pos);
    printf("%lld", dp[1][0].first + pos * k);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：zuytong
本文链接：https://www.cnblogs.com/zuytong/p/16711362.html
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