CF1083C Max Mex
思路
对线段树的功能理解又加深了
假设我们枚举答案为 \(x\)，那么要满足有一条链包含了 \(1\) ~ \(x-1\) 的数
我们考虑建立一棵线段树，下标为点权，区间记录的是 \([l,r]\) 是否存在一条链使得 \(l\) ~ \(r\) 都在链上，如果有，我们只需要记录链的两个端点即可
考虑如何合并两个区间：首先我们要学会怎么判断一个结点 \(z\) 是否在某条链 \((x,y)\) 上，假如满足 \((\text{LCA}(x,z)==z||\text{LCA}(y,z)==y)\&\&(\text{LCA}(w,z)==w)\)，其中 \(w=\text{LCA}(x,y)\)，那么 \(z\) 就是在链上的
合并两个区间时，我们只需要在这四个端点中枚举其中两个作为新链的端点，再判断另外两个是否在新链上即可，情况为 \(6\) 种
对于查询，由于我们要的链一定是从 \(1\) 到某个数，那么我们进行线段树二分，求前缀链，具体实现可以看代码的 query 函数部分
这里需要引入一种 \(O(n\log n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询 \(\text{LCA}\) 的方法：
我们先记录树遍历的欧拉序，即进入某个结点时，记录这个结点；当从子结点返回到这个结点时，也再记录一次这个结点
我们令 \(in[u]\) 表示 \(u\) 第一次被记录的编号
对于两个结点 \(u,v\)，我们只需要找到 \(in[u]\) 和 \(in[v]\) 之间的深度最小的节点，这个就是他们的 \(\text{LCA}\)
我们只需要用 ST表 来预处理深度最小的结点即可
这样我们就能做到 \(O((n+q)\log n)\)
代码
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#define LL long long
#define FOR(i, x, y) for(int i = (x); i <= (y); i++)
#define ROF(i, x, y) for(int i = (x); i >= (y); i--)
#define PFOR(i, x) for(int i = he[x]; i; i = e[i].nxt)
template<typename T> inline void rd(T &x)
{
T sign = 1, re = 0; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') sign = -1; c = getchar();}
while('0' <= c && c <= '9'){re = re * 10 + (c - '0'); c = getchar();}
x = sign * re;
}
int n, q, a[200005], id[200005];
struct Node
{
int to, nxt;
}e[400005]; int he[200005];
inline void Edge_add(int u, int v)
{
static int cnt = 0;
e[++cnt] = (Node){v, he[u]};
he[u] = cnt;
}
int in[200005], dep[200005], pcnt;
int len[400005];
int st1[400005][20], st2[400005][20]; // The longest is 18
void dfs(int now, int fa)
{
in[now] = ++pcnt, st1[pcnt][0] = st2[pcnt][0] = now;
PFOR(i, now)
{
int to = e[i].to;
if(to == fa) continue;
dep[to] = dep[now] + 1, dfs(to, now);
++pcnt, st1[pcnt][0] = st2[pcnt][0] = now;
}
}
inline void Initst()
{
int h = 1, cur = -1;
FOR(i, 1, pcnt)
{
if(i == h) {cur++, h <<= 1;}
len[i] = cur;
}
h = 1;
FOR(j, 1, len[pcnt])
{
for(int i = 1; i + (h << 1) - 1 <= (pcnt); i++)
{
int pos = (dep[st1[i][j - 1]] < dep[st1[i + h][j - 1]]) ? st1[i][j - 1] : st1[i + h][j - 1];
st1[i][j] = pos;
}
for(int i = (pcnt); i - (h << 1) + 1 >= 1; i--)
{
int pos = (dep[st2[i][j - 1]] < dep[st2[i - h][j - 1]]) ? st2[i][j - 1] : st2[i - h][j - 1];
st2[i][j] = pos;
}
h <<= 1;
}
}
inline int LCA(int x, int y)
{
if(in[x] > in[y]) std::swap(x, y);
int dis = len[in[y] - in[x] + 1];
return (dep[st1[in[x]][dis]] < dep[st2[in[y]][dis]]) ? st1[in[x]][dis] : st2[in[y]][dis];
}
#define pii std::pair<int, int>
#define mp std::make_pair
pii p[800005];
#define ls (now << 1)
#define rs ((now << 1) | 1)
inline bool check(int x, int y, int z)
{
int w = LCA(x, y);
return (LCA(x, z) == z || LCA(y, z) == z) && LCA(w, z) == w;
}
inline pii combine(pii x, int y)
{
if(x.first < 0 || y < 0) return mp(-1, -1);
int u = x.first, v = x.second;
if(check(u, v, y)) return x;
if(check(u, y, v)) return mp(u, y);
if(check(v, y, u)) return mp(v, y);
return mp(-1, -1);
}
inline pii merge(pii x, pii y)
{
if(x.first < 0 || y.first < 0) return mp(-1, -1);
pii re = combine(x, y.first);
if(re.first < 0) return mp(-1, -1);
return combine(re, y.second);
}
void build(int now, int l, int r)
{
if(l == r)
{
p[now] = mp(id[l], id[r]);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
p[now] = merge(p[ls], p[rs]);
}
void modify(int now, int l, int r, int to)
{
if(l == r)
{
p[now] = mp(id[l], id[r]);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(to <= mid) modify(ls, l, mid, to);
else modify(rs, mid + 1, r, to);
p[now] = merge(p[ls], p[rs]);
}
int query(int now, int l, int r, pii &pre)
{
if(p[now].first >= 0)
{
if(pre.first < 0)
{
pre = p[now];
return r + 1;
}
pii rp = merge(pre, p[now]);
if(rp.first >= 0)
{
pre = rp;
return r + 1;
}
}
if(l == r) return l;
int mid = (l + r) >> 1;
int re = query(ls, l, mid, pre);
if(re <= mid) return re;
return query(rs, mid + 1, r, pre);
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in", "r", stdin);
freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
rd(n);
FOR(i, 1, n) rd(a[i]), a[i]++, id[a[i]] = i;
FOR(i, 2, n)
{
int to;
rd(to);
Edge_add(i, to), Edge_add(to, i);
}
dep[1] = 1, dfs(1, 0);
Initst();
build(1, 1, n);
rd(q);
FOR(i, 1, q)
{
int ty; rd(ty);
if(ty == 1)
{
int x, y;
rd(x), rd(y);
std::swap(id[a[x]], id[a[y]]); std::swap(a[x], a[y]);
modify(1, 1, n, a[x]), modify(1, 1, n, a[y]);
}
else
{
pii rp = mp(-1, -1);
printf("%d\n", query(1, 1, n, rp) - 1);
}
}
return 0;
}
