P2305 [NOI2014] 购票
思路
先不考虑距离的限制，我们有转移方程：
\[dp_i = dp_j+p_i(dis_i-dis_j)+q_i
\]
其中，\(dis_i\) 表示根到 \(i\) 的距离
那么我们就有朴素的斜率优化模型：
\[\begin{aligned}
dp_i-q_i-p_idis_i&=dp_j-p_idis_j\\\\
x&=p_i\\
k&=-dis_j\\
b&=dp_j
\end{aligned}\]
但现在有了距离的限制，让我们感到十分棘手
于是 lby 大佬给出了一个树套树的做法 （之前说的让树套树吃灰寄了，终究是让自己成为讨厌的人）
我们先进行树链剖分，将树划分成不超过 \(log\ n\) 条链，并编号
然后建线段树，树上的每个结点代表一棵李超线段树（李超树上的结点需要动态开店）
当我们要求结点 \(u\) 的最小费用时，我们就从它所在的链往上跳，如果当前链的任意结点到 \(u\) 的距离都不超过 \(lim_u\) ，就在线段树区间 \(dfn[l]\) ~ \(dfn[r]\) 上的李超树查询最小值
注意：最后一条链虽然不能整条链满足 \(lim_u\) 的限制，但可能某一段还是可以满足的，所以需要二分出这个结点，再求一次最小值
求完最小费用后，我们就更新线段树，所有包含 \(dfn[u]\) 的线段树区间上的李超树都要进行更新（常规的树套树）
最后注意一个坑点：\(x\) 有可能为 \(0\) ，查询/修改李超树时初始区间应为 \([0,p_{max}]\)
复杂度为 \(O(nlog^3n)\)，但因为跑不满+数据太水，最慢的点也只跑了 \(460ms\)
代码
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#define LL long long
inline LL reads()
{
LL sign = 1, re = 0; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') sign = -1; c = getchar();}
while('0' <= c && c <= '9'){re = re * 10ll + (c - '0'); c = getchar();}
return sign * re;
}
const int N = 2e5, M = 1e6;
const LL INF = 1e18;
int n, t; LL dp[N + 5];
struct Node
{
int fa; LL p, q, lim, dis;
}a[N + 5];
struct Rood
{
int to, next;
}r[N + 5]; int he[N + 5];
int hs[N + 5], si[N + 5], hf[N + 5], dfn[N + 5], cnt;
void dfs(int now)
{
si[now] = 1;
for(int i = he[now]; i; i = r[i].next)
{
int to = r[i].to;
dfs(to); si[now] += si[to];
if(si[to] > si[hs[now]]) hs[now] = to;
}
}
void relabel(int now)
{
dfn[now] = ++cnt;
if(hs[a[now].fa] == now) hf[now] = hf[a[now].fa];
else hf[now] = now;
if(hs[now]) relabel(hs[now]);
for(int i = he[now]; i; i = r[i].next)
{
int to = r[i].to;
if(to == hs[now]) continue;
relabel(to);
}
}
LL k[N + 5], b[N + 5];
namespace Seg_Tree
{
int tr[M << 4 | 5], ls[M << 4 | 5], rs[M << 4 | 5], he[N << 2 + 5];
int cnt;
void update(int &now, int l, int r, int id)
{
if(!now)
{
now = ++cnt;
tr[now] = id;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
LL L1 = k[id] * l + b[id], R1 = k[id] * r + b[id];
LL L2 = k[tr[now]] * l + b[tr[now]], R2 = k[tr[now]] * r + b[tr[now]];
if(L1 >= L2 && R1 >= R2) return;
if(L1 <= L2 && R1 <= R2) {tr[now] = id; return;}
double its = 1.0 * (b[tr[now]] - b[id]) / (k[id] - k[tr[now]]);
if(its <= mid)
if(L1 > L2) update(ls[now], l, mid, tr[now]), tr[now] = id;
else update(ls[now], l, mid, id);
else
if(R1 > R2) update(rs[now], mid + 1, r, tr[now]), tr[now] = id;
else update(rs[now], mid + 1, r, id);
}
void add(int now, int l, int r, int to)
{
update(he[now], 0, M, to);
if(l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
if(to <= mid) add(now << 1, l, mid, to);
else add((now << 1) | 1, mid + 1, r, to);
}
LL query(int now, int l, int r, int to)
{
if(!now) return INF;
if(l == r) return k[tr[now]] * to + b[tr[now]];
int mid = (l + r) >> 1;
if(to <= mid) return std::min(k[tr[now]] * to + b[tr[now]], query(ls[now], l, mid, to));
else return std::min(k[tr[now]] * to + b[tr[now]], query(rs[now], mid + 1, r, to));
}
LL get_ans(int now, int l, int r, int L, int R, int to)
{
if(L <= l && r <= R) return query(he[now], 0, M, to);
int mid = (l + r) >> 1; LL re = INF;
if(L <= mid) re = std::min(re, get_ans(now << 1, l, mid, L, R, to));
if(mid < R) re = std::min(re, get_ans((now << 1) | 1, mid + 1, r, L, R, to));
return re;
}
}
using Seg_Tree::add; using Seg_Tree::get_ans;
inline void solve(int i)
{
dp[i] = INF; int l, r;
for(l = hf[a[i].fa], r = a[i].fa; r && a[i].dis - a[l].dis <= a[i].lim; r = a[l].fa, l = hf[r])
dp[i] = std::min(dp[i], get_ans(1, 1, n, dfn[l], dfn[r], a[i].p));
if(!r || a[i].dis - a[r].dis > a[i].lim) return;
int L = l, R = r;
while(L + 1 < R)
{
int mid = (L + R) >> 1;
if(a[i].dis - a[mid].dis <= a[i].lim) R = mid;
else L = mid;
}
dp[i] = std::min(dp[i], get_ans(1, 1, n, dfn[R], dfn[r], a[i].p));
}
void DP(int now)
{
if(now != 1) solve(now);
dp[now] += a[now].q + a[now].dis * a[now].p;
k[dfn[now]] = -a[now].dis, b[dfn[now]] = dp[now]; add(1, 1, n, dfn[now]);
for(int i = he[now]; i; i = r[i].next)
{
int to = r[i].to;
DP(to);
}
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in", "r", stdin);
freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
n = reads(), t = reads();
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
int fa = reads(); LL s = reads(), p = reads(), q = reads(), lim = reads();
a[i] = (Node){fa, p, q, lim, a[fa].dis + s};
r[i - 1] = (Rood){i, he[fa]}; he[fa] = i - 1;
}
dfs(1);
relabel(1);
DP(1);
for(int i = 2; i <= n; i++)
printf("%lld\n", dp[i]);
return 0;
}
