算法 - 文章分类 - zuytong

Hall 定理

发表于 2023-01-16 10:05阅读：187评论：0推荐：0

摘要：Hall 定理引入有

n

$n$ 个男生，每个男生都有若干个喜欢的女生。现在要求每个男生都与其中一个自己喜欢的女生牵手，且每个女生只能和一个男生牵手。问是否存在一个方案。定理：当我们选择任意

k (k \in [1, n])

$k\ (k\in [1,n])$ 个男生，他们喜欢共有

\geq k

$\ge k$ 个不同的女生，那么就存在一阅读全文 »

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Prufer 序列

发表于 2022-11-22 19:33阅读：53评论：0推荐：0

摘要：没想到都临近最后一次 NOIP 了，还要被迫学新东西... 不过还好这个知识很好理解。构造 Prufer 序列：对于一棵有标号无根树，如果要用一个序列来表示它，那么 Prufer 序列就是其中的一种。对于一个结点数为

n

$n$ 的树，它的 Prefer 序列的长度为

n - 2

$n-2$ 。构造方式为：每阅读全文 »

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二项式反演

发表于 2022-11-01 14:48阅读：34评论：0推荐：0

摘要：做一个简单的总结。定义常用于计数容斥中，解决的是“钦定”和“恰好”的问题。我们定义

f_{i}

$f_i$ 是钦定有

i

$i$ 个满足条件的方案数，

g_{i}

$g_i$ 是恰好有

i

$i$ 个满足条件的方案数。常见的有四种形式： $$f_n = \sum_{i=0}^n(-1)^i\begin{pmatrix}n\i 阅读全文 »

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树分治

发表于 2022-10-27 15:31阅读：29评论：0推荐：0

摘要：终于来填坑嘞 ① 点分治 ~~（俗称淀粉质）~~ 通常用来解决树上路径问题我们每次钦定一个点，并只统计经过这个点的路径；处理完后我们向其子树分治下去每次选择的点都很关键，比如一条链，如果你一直选择它的端点，那我们的时间复杂度可能还是

O (n^{2})

$O(n^2)$ 最优的决策点应该是树的重心，这样树的高度就保阅读全文 »

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后缀数组-SA

发表于 2022-10-25 09:50阅读：25评论：0推荐：0

摘要：引入给出一个长为

n

$n$ 的字符串

s

$s$ ，要求每个后缀的排名。约定后缀

i

$i$ 表示

s_{i}

$s_i$ 开头的后缀，储存时用

i

$i$ 直接代表

s_{i . . . n}

$s_{i...n}$ 。

s a_{i}

$sa_i$ 表示排名为

i

$i$ 的后缀

x

$x$ 。

r k_{i}

$rk_i$ 表示后缀

i

$i$ 的排名。

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ 将所阅读全文 »

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广义后缀自动机-GSAM

发表于 2022-10-10 10:02阅读：60评论：0推荐：0

摘要：学习广义SAM 之前，请保证对字典树、SAM 有一定了解基础知识伪广义后缀自动机之所以是“伪”，因为它的时间复杂度并无法保证（虽然大部分情况下依旧是线性的，也够用），而且部分信息可能无法维护常见的有以下两种：将多个字符串直接连接，相邻两个字符串用特殊符号分隔每将一个字符串全部加入到阅读全文 »

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后缀自动机-SAM

发表于 2022-10-09 10:46阅读：30评论：0推荐：0

摘要：基础模型初学 SAM，感觉这东西实在是抽象... 建议就是感性理解 + 背板子参考资料： OI-Wiki cmd 的博客

endpos

$\text{endpos}$ 首先我们来了解什么是

endpos

$\text{endpos}$ ：

endpos

$\text{endpos}$ ，顾名思义就是“结尾位置” 而 $\text{endp 阅读全文 »

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K-D Tree

发表于 2022-09-28 09:31阅读：114评论：0推荐：1

摘要：K-D Tree (K - Dimension Tree)，是一种用来解决

k

$k$ 维空间信息的数据结构；一般在 OI 竞赛中，以

k = 2

$k=2$ 为多 K-D Tree 实际上是一个二叉搜索树；而为了让复杂度尽量优（注意，K-D Tree 在某些问题可以被卡成暴力的复杂度），我们会让树高尽可能的小，因阅读全文 »

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差分约束

发表于 2022-09-22 09:48阅读：18评论：0推荐：0

摘要：引入：差分约束是来解决以下这一类问题：给出多个

x_{i} \leq x_{j} + c

$x_i\le x_j +c$ 的限制，求一组

x

$x$ 的合法方案那么我们就可以从

j

$j$ 向

i

$i$ 连出一条边长为

c

$c$ 的有向边跑一次最短路，就能得到最小的合法方案如果出现负环，则是无解代码进阶：题意：

n \leq 1 e 5

$n\le 1e5$ 个阅读全文 »

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WQS二分

发表于 2022-09-18 22:00阅读：41评论：0推荐：0

摘要：~~之前一直觉得这个算法没啥实际用处，现在才知道是我错了~~ 推荐一下这位大佬的博客，让我很好理解了 WQS 二分这类二分通常用来解决这类问题：

n

$n$ 个数，要求恰好选

m

$m$ 个，问最大/小和而这类二分也有一些比较严苛的条件要求：令

g_{i}

$g_i$ 为恰好选

i

$i$ 个数的最优方案，那么必须有阅读全文 »

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笛卡尔树

发表于 2022-09-16 10:10阅读：31评论：0推荐：0

摘要：因为上年 CSP-S 考了，但我并不会建树，于是今年初赛前来学学（虽然出的概率是微乎其微的了）笛卡尔树满足两个条件：它是一棵二叉搜索树它是一个小根堆若树上每个结点都有一个键值二元组

(k, w)

$(k,w)$ ，那么关于

k

$k$ 满足二叉搜索树的性质；关于

w

$w$ 满足小根堆的性质现在考虑建树过程：我阅读全文 »

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kruskal 重构树

发表于 2022-09-14 11:08阅读：90评论：0推荐：0

摘要：这个算法是用来解决：求图上两点的路径，最大/小的边的相关信息例题引入：传送门在之前学习 MST 中，我们了解到，当用 kruskal 生成一棵 MST，它同时满足为瓶颈生成树（即使最小化最大边）因此我们可以在 MST 找出询问点

(u, v)

$(u,v)$ 的路径，求最大边但这个似乎不太优秀（？那就用阅读全文 »

posted @ 2022-09-14 11:08 zuytong 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

动态树（Link Cut Tree）

发表于 2022-09-13 10:30阅读：36评论：0推荐：0

摘要：学习笔记 LCT，是一个强大的数据结构，通常用来维护动态森林的一些操作我们将原树剖分成多条实链，满足每个实链内的点在原树的深度是严格递增的，每个实链用一个 splay 来维护每个结点到其子结点最多只有一条是实边，其余的都是虚边，保证每个结点只在一个 splay 中每个 splay 的根节点指向阅读全文 »

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splay

发表于 2022-09-12 21:21阅读：94评论：0推荐：0

摘要：LCT 的前置知识： splay 是一种二叉搜索树，满足中序遍历是原序列，支持区间插入、删除、查询等操作基本操作：旋转进阶操作：双旋顺链：先父亲再自己折链：先自己再父亲可证明双旋复杂度是均摊

O (\log n)

$O(\log n)$ 的初始化：先建一个 -INF 和一个 INF 结点查找

n u m

$num$ 的阅读全文 »

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线段树分治

发表于 2022-08-17 21:09阅读：19评论：0推荐：0

摘要：万物皆可分治例题引入：动态加边、删边，询问两点联通状态（不要求在线，

n, m \leq 1 e 5

$n,m\le 1e5$ ）询问联通状态，我们可以自然想到用并查集来维护但问题就在于，并查集不能删边比如我们加入边

1 - 2, 2 - 3, 1 - 3

$1-2,2-3,1-3$ ，再删除

1 - 2

$1-2$ ，问你

1 - 3

$1-3$ 的联通性；由于并查集对加入

1 - 3

$1-3$ 并阅读全文 »

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斯坦纳树

发表于 2022-08-12 14:58阅读：47评论：0推荐：0

摘要：一些背景问题引入：给出一个图

G = (V, E)

$G=(V,E)$ （

V

$V$ 表示结点，

E

$E$ 表示边），以及

V

$V$ 的一个子点集

S

$S$ 。现在要求选出一个

G

$G$ 的子图

G^{'} = (V^{'}, E^{'})

$G'=(V',E')$ ，满足

S \subseteq V^{'}

$S\subseteq V'$

G^{'}

$G'$ 为连通图

E^{'}

$E'$ 的边权和最小换句话说，就是给出一个图，以及阅读全文 »

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左偏树（可并堆）

发表于 2022-08-11 09:56阅读：58评论：0推荐：0

摘要：入门 1. 基本要素定义“外结点”表示左儿子或右儿子为空的结点定义

d i s_{u}

$dis_u$ 表示结点

u

$u$ 到最近的一个“外结点”的距离 2. 基本性质及结论左偏树本质为小根堆，满足一个结点的权值大于等于其左右儿子的权值左偏树满足左偏的性质，即对于任意一个结点

u

$u$ ，满足 $dis_{l_u}\ 阅读全文 »

posted @ 2022-08-11 09:56 zuytong 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

快速沃尔什变换-FWT

发表于 2022-06-02 15:12阅读：147评论：0推荐：0

摘要：0. 引入快速沃尔什变换（FWT）是用来解决位运算卷积的算法，形如：

C_{k} = \sum_{i \oplus j = k} A_{i} \times B_{j}

$C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_i\times B_j$ 其中，

\oplus

$\oplus$ 代表位运算中的某一种 1. 转化回顾 FFT/NTT，加法卷积是将表达式转化成点值，相乘后再转化回来那我们考虑构造阅读全文 »

posted @ 2022-06-02 15:12 zuytong 阅读(147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

任意模数多项式乘法-MTT

发表于 2022-04-26 15:50阅读：75评论：0推荐：0

摘要：拆系数FFT 在之前，我们用原根代替单位根，实现了比 FFT 更快的 NTT 但 NTT 的限制比较大：模数能表示为

a \times 2^{k} + 1

$a\times 2^k+1$ ，通常这个

k

$k$ 要求大于

16

$16$ 如果我们换了一个不太友好的模数（如

10^{9} + 7

$10^9+7$ , 19190817），似乎 NTT 阅读全文 »

posted @ 2022-04-26 15:50 zuytong 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分治FFT

发表于 2022-04-25 21:47阅读：42评论：0推荐：0

摘要：分治FFT 例题传送门 solution-1：多项式求逆我们考虑构造函数

f (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} f [i] x^{i}, g (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} g [i] x^{i}

$f(x)=\sum_{i=0}^\infty f[i]x^i,\ g(x)=\sum_{i=0}^\infty g[i]x^i$

f (x)

$f(x)$ 就是目标函数，

g (x)

$g(x)$ 就是题目给出的函数，但这里我们令 \( 阅读全文 »

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