2022 年 4月文章档案 - zuytong

发表于 2022-04-26 15:50阅读：75评论：0推荐：0

摘要：拆系数FFT 在之前，我们用原根代替单位根，实现了比 FFT 更快的 NTT 但 NTT 的限制比较大：模数能表示为

a \times 2^{k} + 1

$a\times 2^k+1$ ，通常这个

k

$k$ 要求大于

16

$16$ 如果我们换了一个不太友好的模数（如

10^{9} + 7

$10^9+7$ , 19190817），似乎 NTT 阅读全文 »

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分治FFT

发表于 2022-04-25 21:47阅读：42评论：0推荐：0

摘要：分治FFT 例题传送门 solution-1：多项式求逆我们考虑构造函数

f (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} f [i] x^{i}, g (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} g [i] x^{i}

$f(x)=\sum_{i=0}^\infty f[i]x^i,\ g(x)=\sum_{i=0}^\infty g[i]x^i$

f (x)

$f(x)$ 就是目标函数，

g (x)

$g(x)$ 就是题目给出的函数，但这里我们令 \( 阅读全文 »

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多项式全家桶

发表于 2022-04-23 21:46阅读：79评论：0推荐：0

摘要：有了 FFT 和 NTT，就有了全世(jia)界(tong) ——command_block 1. 多项式求逆定义：当满足

f (x) * g (x) \equiv 1 (\mod x^{n})

$f(x)*g(x)\equiv 1\pmod {x^n}$ ，则

f (x), g (x)

$f(x), g(x)$ 互为逆元我们考虑递归求解：设我们需要求出

F (x)

$F(x)$ 的乘法逆元为阅读全文 »

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二次剩余

发表于 2022-04-23 16:02阅读：118评论：0推荐：0

摘要：引入如

x^{2} \equiv n (\mod p)

$x^2\equiv n\pmod{p}$ ，如果存在这样的实数

x

$x$ ，称

n

$n$ 为二次剩余；反之，称

n

$n$ 为非二次剩余解的个数答案是：

2

$2$ 证明：如果存在

x_{0} \neq x_{1}

$x_0\not=x_1$ ，满足

x_{0}^{2} \equiv x_{1}^{2} (\mod p)

$x_0^2\equiv x_1^2\pmod p$ 则阅读全文 »

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下降幂多项式乘法

发表于 2022-04-21 20:53阅读：57评论：0推荐：0

摘要：前置芝士下降幂：

x^{\underline{n}} = \frac{x!}{(x - n)!}

$x^{\underline n}=\frac{x!}{(x-n)!}$ 泰勒展开：

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{f_{i} (a)}{i!} (x - a)^{i}

$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f_i(a)}{i!}(x-a)^i$ 其中

f_{i} (a)

$f_i(a)$ 标识函数

f (a)

$f(a)$ 的

n

$n$ 阶导 OGF普通生成函数阅读全文 »

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拉格朗日插值

发表于 2022-04-20 21:17阅读：137评论：0推荐：0

摘要：引入给出一个函数的点值表达，现在要求函数的系数拉格朗日插值一个通俗易懂的讲解显然我们可以用

O (n^{3})

$O(n^3)$ 跑高斯消元但我们要将它优化到

O (n^{2})

$O(n^2)$ 甚至以下我们考虑设

f (x)

$f(x)$ 的点值表达为

(x_{0}, y_{0}), (x_{2}, y_{2}) . . . (x_{n}, y_{n})

$(x_0,y_0),(x_2,y_2)...(x_n,y_n)$ 阅读全文 »

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模拟退火

发表于 2022-04-15 08:18阅读：60评论：0推荐：0

摘要：为什么叫退火请自行百度过程首先我们要知道爬山算法是什么：爬山就是单纯的贪心，遇到更优的解时才更新答案，但这样一来就可能陷入局部最优解中模拟退火就通过一定概率取非最优值，尝试跳出这个坑模拟退火有三个重要的参数：

T_{0}

$T_0$ （初始温度，要足够高），

T_{E}

$T_E$ （结束温度，略略大于

0

$0$ 阅读全文 »

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莫队

发表于 2022-04-13 20:55阅读：105评论：0推荐：0

摘要：莫队是谁？ 1. 普通莫队用来解决区间询问的问题：如果已知

[l, r]

$[l,r]$ 的答案，可以快速求得

[l - 1, r], [l + 1, r], [l, r - 1], [l, r + 1]

$[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$ 的答案，就可以用莫队处理如这道例题如果我们在线做，就会要

O (n m)

$O(nm)$ 的时间那我们考虑离线，将询问按

l

$l$ 为第一关键字阅读全文 »

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快速数论变换-NTT

发表于 2022-04-07 15:52阅读：223评论：0推荐：0

摘要：前文再续，书接上一回，我们说到多项式乘法可以用 FFT 来处理，但由于多次使用三角函数以及复数，难免带来精度的问题，动不动就炸掉了于是，快速数论变换（NTT）就横空出世他是一种用原根代替单位根的算法，他不仅保证了精度（在整数域内），而且支持多项式的取模，因此是一种优秀的算法 1. 原根首先我们阅读全文 »

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快速傅里叶变换-FFT

发表于 2022-04-04 10:48阅读：99评论：0推荐：0

摘要：本蒟蒻终于来补证明了！！！终于在学完三角函数和复数后理解了一遍本博客参考自command_block的FFT学习笔记，作本蒟蒻平时复习用 1. DFT & IDFT的思想众所周知，一个

n

$n$ 次的函数

f (x)

$f(x)$ 可以由

n + 1

$n+1$ 个点表示因此 \(\{(x_0,y_0 阅读全文 »

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