Prufer 序列

没想到都临近最后一次 NOIP 了，还要被迫学新东西...

不过还好这个知识很好理解。

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构造 Prufer 序列：

对于一棵有标号无根树，如果要用一个序列来表示它，那么 Prufer 序列就是其中的一种。

对于一个结点数为 \(n\) 的树，它的 Prefer 序列的长度为 \(n-2\)。

构造方式为：每次选择编号最小的叶子结点，将它连接的点（可以理解为父亲）记录下来，然后将这个叶子结点及其连边删除。

显然可以用堆优化做到 \(O(n\log n)\)。

线性构造：

维护一个指针 \(tag\)，初始 \(tag\) 指向最小编号的叶子结点。

设当前最小编号的叶子结点为 \(pos\)

1. 记录 \(pos\) 连接的结点 \(x\)，并删除 \(pos\) 及其连边；

2. 如果 \(x\) 成为新的叶子结点：判断 \(x\) 是否 \(< pos\)，如果是，将 \(pos\) 更新为 \(x\)，重复步骤 1；

3. 否则，将 \(tag\) 自增到一个叶子结点，更新 \(pos\) 为 \(tag\)。

正确性证明：

• 如果 \(x<tag\)，由于 \(tag\) 一定是原本的最小叶子，那么此时 \(x\) 一定是最小叶子；

• 如果 \(x>tag\)，那么后面 \(tag\) 会扫到它，就不需要操作。

• 每个点最多被扫一次，因此复杂度为 \(O(n)\)。

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性质：

1. 没出现在 Prufer 序列的结点，在原树中是叶子结点；

2. 若一个结点在 Prufer 序列中出现 \(a\) 次，那么它在原树中的度数就是 \(a+1\)

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用 Prufer 序列还原无根树：

其实整个过程与构造 Prufer 序列是一样的。

通过性质上面的性质，我们可以得到每个点的度数 \(dg\)，以及原树中最小的叶子结点；然后我们将它与序列中第一个数连边，同时删去两个结点的度数。

然后寻找最小编号的度数为 \(1\) 的点，重复上面的步骤。

因此用上面的方法，一样可以做到线性还原。

代码

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应用：

1. Cayley 公式

一个 \(n\) 个点的有标号完全图，生成树的数量为 \(n^{n-2}\)

因为一棵有标号无根树对应一个 Prufer 序列，\(n-2\) 个位置取值为 \([1\sim n]\)。

给出每个点的度数，问有多少种不同的生成树？

根据上面的性质 2，那么实际上问题就转化为：有 \(n\) 种数，每种数有 \(dg_i-1\) 个，共 \(n-2\) 个，求总排列数。

那么答案就是：

\[\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n} (dg_i-1)!} \]