做一个简单的总结。
定义
常用于计数容斥中，解决的是“钦定”和“恰好”的问题。
我们定义 \(f_i\) 是钦定有 \(i\) 个满足条件的方案数，\(g_i\) 是恰好有 \(i\) 个满足条件的方案数。
常见的有四种形式：
\[f_n = \sum_{i=0}^n(-1)^i\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} g_i \leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n (-1)^i\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} f_{i}
\]
\[f_n = \sum_{i=0}^n\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} g_i \leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} f_{i}
\]
\[f_n = \sum_{i=n}^N(-1)^i\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix} g_i \leftrightarrow g_n=\sum_{i=n}^N (-1)^i\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix} f_{i}
\]
\[f_n = \sum_{i=n}^N\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix} g_i \leftrightarrow g_n=\sum_{i=n}^N (-1)^{i-n}\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix} f_{i}
\]
其中 \(2\)、\(4\) 形式最常用。
证明
形式一：
将左式代入到右式，得到：
\[g_n=\sum_{i=0}^n (-1)^i\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} \sum_{j=0}^i(-1)^j\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} g_j
\]
交换 \(i,j\)，得到：
\[g_n=\sum_{j=0}^n (-1)^jg_j\sum_{i=j}^n(-1)^i\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}
\]
这里，我们要证明 \(\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-j\\n-i\end{pmatrix}\)
\[\frac{n!(n-j)!}{j!(n-j)!(n-i)!(i-j)!}=\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-j\\n-i\end{pmatrix}
\]
于是上面的式子继续化为：
\[g_n=\sum_{j=0}^n (-1)^jg_j\sum_{i=j}^n(-1)^i\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-j\\n-i\end{pmatrix}
\]
更换 \(i\) 枚举的范围，得到：
\[g_n=\sum_{j=0}^n g_j(-1)^j\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{i+j}\begin{pmatrix}n-j\\i\end{pmatrix}
\]
根据二项式定理 \(\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{i}\begin{pmatrix}n-j\\i\end{pmatrix}=(1-1)^{n-j}\)，有：
\[g_n=\sum_{j=0}^n g_j(-1)^{2j}\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}(1-1)^{n-j}
\]
当且仅当 \(j=n\) 时，\((-1)^{2j}\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}(1-1)^{n-j}=1\)
得证。
形式二的证法是一样的，可以自己联系一下。
形式三：
与上面的1证明相似，那就再写一遍：
将左式代入到右式，得到：
\[g_n=\sum_{i=n}^N (-1)^i\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix} \sum_{j=i}^N(-1)^j\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix} g_j
\]
交换 \(i,j\)，得到：
\[g_n=\sum_{j=n}^N (-1)^j g_j\sum_{i=n}^j(-1)^i\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}
\]
我们还要证明 \(\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j-n\\i-n\end{pmatrix}\)：
\[\frac{j!(j-n)!}{n!(j-n)!(i-n)!(j-i)!}=\begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j-n\\i-n\end{pmatrix}
\]
所以式子又变成：
\[g_n=\sum_{j=n}^N g_j(-1)^j \begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\sum_{i=n}^j(-1)^i\begin{pmatrix}j-n\\i-n\end{pmatrix}
\]
更换 \(i\) 枚举的范围：
\[g_n=\sum_{j=n}^N g_j(-1)^j \begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\sum_{i=0}^{j-n}(-1)^{i+j}\begin{pmatrix}j-n\\i\end{pmatrix}
\]
根据二项式定理 \(\sum_{i=0}^{j-n}(-1)^{i}\begin{pmatrix}j-n\\i\end{pmatrix}=(1-1)^{j-n}\)，有：
\[g_n=\sum_{j=n}^N g_j(-1)^{2j} \begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}(1-1)^{j-n}
\]
当且仅当 \(j=n\) 时，\((-1)^{2j} \begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}(1-1)^{j-n}=1\)
得证。
形式四也是一模一样的证明。
