差分约束

引入：

差分约束是来解决以下这一类问题：

给出多个 \(x_i\le x_j +c\) 的限制，求一组 \(x\) 的合法方案

那么我们就可以从 \(j\) 向 \(i\) 连出一条边长为 \(c\) 的有向边

跑一次最短路，就能得到最小的合法方案

如果出现负环，则是无解

代码

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进阶：

题意：

\(n\le 1e5\) 个整型变量，\(m\le 1e5\) 个限制，要求两种之一：

1. \([l,r]\) 按位或 \(x\)

2. \([l,r]\) 按位与 \(x\)

求出任意一种方案，保证有解

思路：

遇到位运算，可以考虑拆位贡献

那么限制就转化为：

1. 区间 \([l,r]\) 这一位上全为 0；有一位为 1

2. 区间 \([l,r]\) 这一位上全为 1；有一位为 0

记录序列的 0/1 前缀和，转化为左右端点的差分约束关系，求最短路即可

练习题：

P2294 [HNOI2005]狡猾的商人

SP116 INTERVAL - Intervals（注意隐含条件，可用最长路）

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例题：

P2474 [SCOI2008]天平

开始还想跑出每个砝码可能的取值，但发现无论是选出发点，还是如何确定范围，都有一些麻烦

我们用 \(Mx[i][j]\) 表示 \(i\) 与 \(j\) 之间可能的最大差值，\(Mn[i][j]\) 表示 \(i\) 与 \(j\) 之间可能的最小差值

有如下初始化：

1. 当 \(i+j\)，\(Mx[i][j]=2,~Mn[i][j]=1\)

2. 当 \(i-j\)，\(Mx[i][j]=-1,~Mn[i][j]=-2\)

3. 当 \(i=j\)，\(Mx[i][j]=0,~Mn[i][j]=0\)

4. 当 \(i~?~j\)，\(Mx[i][j]=2,~Mn[i][j]=-2\)

然后我们用 floyd 对 \(Mx\) 跑最短路，对 \(Mn\) 跑最长路

然后就可以进行判断：

1. \[A+B>C+D \]

即 \(Mn[A][C]>Mx[D][B]~||~Mn[A][D]>Mx[C][B]\)

2. \[A+B<C+D \]

即 \(Mx[A][C]<Mn[D][B]~||~Mx[A][D]<Mn[C][B]\)

3. \[A+B=C+D \]

即 \(Mn[A][C]=Mx[A][C]=Mn[D][B]=Mx[D][B]~||~Mn[A][D]=Mx[A][D]=Mn[C][B]=Mx[C][B]\)

注意判断中的 或 ！

代码

P4926 [1007]倍杀测量者

问题可以转化为：

\[A\ge (K-T)B~/~ (k+T)A>B \]

要使这个式子无解的最大 \(T\)

考虑取对数，得到：

\[\log_2A - \log_2(K-T)\ge \log_2B~/~ \log_2(k+T)+log_2A>log_2B \]

然后正常建边即可

对于一开始就知道分数的，我们将它与 \(0\) 号结点连边

最后将 \([0,n]\) 与超级源点连边后，二分 \(T\)

如果当 \(T=0\) 式子仍有解，那么就无人一定女装（悲

代码