笛卡尔树

因为上年 CSP-S 考了，但我并不会建树，于是今年初赛前来学学（虽然出的概率是微乎其微的了）

---

笛卡尔树满足两个条件：

• 1. 它是一棵二叉搜索树
• 2. 它是一个小根堆

若树上每个结点都有一个键值二元组 \((k,w)\)，那么关于 \(k\) 满足二叉搜索树的性质；关于 \(w\) 满足小根堆的性质

现在考虑建树过程：

我们将元素按照 \(k\) 从小到大排序

维护笛卡尔树的右链（就是从根一直向右儿子走，直到没有右儿子）

当加入一个元素 \(a\) 时，我们从右链底部向上依次比较，对于出现的第一个满足 \(w_x<w_a\) 的元素 \(x\)，我们将 \(a\) 的左儿子设为 \(x\) 原本的右儿子，将 \(x\) 的右儿子设为 \(a\)

然后更新右链，可以用栈来维护

(from OI-wiki)

---

代码

（虽然是模板题，但需要细节卡常）

---

P1377 [TJOI2011] 树的序

我们观察原树发现，对于下标，它满足小根堆的性质；对于权值，它满足二叉搜索树的性质

因此我们可以将原本的权值当作下标，原本的下标看作权值，建立一棵笛卡尔树

最后按照先序遍历输出笛卡尔树上的下标即可

代码

---

P6453 [COCI2008-2009#4] PERIODNI

一道笛卡尔树优化 DP 的好题

我们考虑用高度为权值建出一棵笛卡尔树，跑树形 DP

我们设 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 子树内放了 \(j\) 个数的方案数

第 \(i\) 个结点能放的高度应该是 \(h_i-h_{fa[i]}\)，个数则是 \(sz[i]\)（\(i\) 子树的大小）

对于转移，有两种形式：

• 1. 全都是儿子的子树来填
• 2. 儿子的子树填了一部分，当前点填了一部分

对于第一种，直接方案数相乘即可，典型的树形背包

对于第二种，我们枚举子树一共要放 \(j\) 个，当前点要放 \(k\) 个，那么就有转移：

\[f[i][j]=\sum_{k = 1}f[i][j - k]\times C_{h_i-h_{fa[i]}}^j \times C_{sz[i]-(j-k)}^j\times j! \]

我们知道，一个 \(n\times m\) 的矩阵要选 \(k\) 个数，一共有 \(C_n^k\times C_m^k\times k!\) 种，代表选出一些行、列并进行组合

而因为儿子已经选了一些数，因此能选的矩阵行列也要做出相应的修改

代码