ARC147 总结
很少打 AT 的比赛，结果 \(C\) 都想不出来，\(B\) 差点被踩爆，还是太菜了诶
A
题意：
\(N\le 2e5\) 的序列，每次拿出最大的数 \(a_i\) 和最小的数 \(a_j\)，将 \(a_i\bmod a_j\)，如果等于零，则删除。问需要多少次序列只剩一个元素
思路：
用 multiset 维护序列，模拟
B
题意：
\(n\le400\) 的排列 \(a\)，有两个操作：A 交换 \(a_i,a_{i+1}\)；B 交换 \(a_i,a_{i+2}\)，最后使排列单调上升。要求输出一种方案，使得 \(A\) 操作次数最少
思路：
当一个位置 \(i\) 和这个位置上的数 \(a\)，它们的奇偶性不一样时，\(a\) 一定会进行一次 \(A\) 操作，称这些数为“待操作数”
最好的情况下在“待操作数”中，找到一个奇数和偶数，将它们移至相邻，再进行一次 \(A\) 操作让它们脱离“待操作数”
当没有“待操作数”时，我们就可以将所有数用 \(B\) 操作移回对应的位置
C
题意：
有一个 \(n\le 3e5\) 的·序列 \(A\)，每个位置 \(i\) 上可以填的数为 \([L_i,R_i]\)，现在要计算：
使其最小
思路：
数放的位置对答案没有影响
假如选出来的序列是有序的，那显然让头和尾的差距越小越好
我们考虑将 \(L,R\) -分别单独拿出来进行排序
每次比较 \(L\) 的最大值 \(x\) 和 \(R\) 的最小值 \(y\)，如果有 \(x>y\)，那我们就将 \(x\) 放在序列的末尾，\(y\) 放在序列的开头
反之，如果有 \(x\le y\)，说明序列剩下没填的位置都可以填上一个填入序列的数字
这个填出来的序列就是最优序列
D
题意：
有 \(n\le 2e5\) 个集合序列 \(S_1,S_2,...,S_n\)，现在要构造满足一下条件的序列：
-
\(S_i\) 的元素不可重，且在 \([1,m]\) 之间
-
任意 \(i\in [1,n)\)，满足恰好有一个元素只属于 \(S_i,~S_{i+1}\) 中的一个
一个序列的贡献为：所有 \(i\in [1,m]\)，\(i\) 出现的集合个数的乘积
求出所有序列的贡献和，\(\bmod~998244353\)
思路：
构造 \(x_1,x_2,...,x_{n-1}\)，\(x_i\) 表示 \(s_i,s_{i+1}\) 之间差的那个数
显然对一种 \(x\) 序列，当我们确定了 \(S_1\)，后面的集合也确定了
令 \(A_i\) 表示当 \(i\) 存在于 \(S_1\) 时，\(i\) 出现的次数；\(B_i\) 表示 \(i\) 不存在于 \(S_1\) 时，\(i\) 出现的次数
显然对于一种 \(x\) 序列，它的答案为：每个数字 \(i\) 选择 \(A_i\) 或者 \(B_i\)，求乘积和
我们不难发现，\(A_i+B_i=n\)，因为存在于 \(S_1\) 和不存在于 \(S_1\) 恰好互为补集
那么对于一种 \(x\) 序列，它的答案就是 \(n^m\)
我们可以构造出 \(m^{n-1}\) 种不同的 \(x\) 序列
因此最终答案就是 \(m^{n-1}\times n^m\)
E
题意：
有两个 \(n\le 3e5\) 的序列 \(A,~B\)，你可以选择交换 \(A\) 中位置 \(i,~j\) 上的数，最终要使任意 \(i\in [1,n]\)，都有 \(A_i\ge B_i\)。问最多有多少个位置没有被交换过
如果不存在合法方案，输出 -1
思路：
判非法很简单，就是将 \(A,B\) 分别排序，比较对应位置上的数
但我们考虑换一种方式：我们令 \(cnt_t\) 表示（\(B_i\le t\) 的个数）\(-\) （\(A_i\le t\) 的个数）
当存在一个 \(cnt_t<0\) 时，代表这是非法的
当有 \(A_i<B_i\) 时，代表位置 \(i\) 一定会被交换，我们将这些组对都存入 \(v\) 中
我们只对 \(v\) 计算 \(cnt_t\)，当出现 \(cnt_t<0\) 时，我们这时要加入一个 \(A_i>t,~B_i\le t\) 的组队到 \(v\) 中；如果有多个满足条件的组对，优先加入 \(A_i\) 最大的那个（因为这样能更快满足条件）
用优先队列能够 \(O(n\log n)\) 完成
