下降幂多项式乘法
前置芝士
下降幂：\(x^{\underline n}=\frac{x!}{(x-n)!}\)
泰勒展开：
\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f_i(a)}{i!}(x-a)^i
\]
其中 \(f_i(a)\) 标识函数 \(f(a)\) 的 \(n\) 阶导
\[\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i
\]
\[\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i!} x^i
\]
与 e 相关：
\[e=\lim_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{i})^i
\]
\[e=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}
\]
\[e^x=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}x^i
\]
（\(e^x\) 的泰勒（麦克劳林）展开）
\[e^{-x}=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!}x^i
\]
下降幂多项式乘法
考虑构造 \(f(x)\) 的点值EGF \(f'=\sum_{i=0}^\infty \frac{f(i)}{i!}x^i\)
再构造 \(x^{\underline n}\) 的点值EGF （这里的 \(x\) 与下面式子中的 \(x\) 非同一指代）
\[\sum_{i=0}^\infty \frac{i^{\underline n}}{i!}x^i=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{(i-n)!}
\]
考虑向左平移无穷式 \(n\) 个单位：
\[\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{(i-n)!}=x^n\sum_{i=0}^\infty\frac{x^i}{i!}=e^xx^n
\]
由 \(f(x)=\sum_{i=0}^\infty a[i]\ x^{\underline i}\)，得
\[f'=\sum_{i=0}^\infty \frac{f(i)}{i!}x^i=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^\infty a[j]\ i^{\underline j}
\]
换一下求和的位置，得
\[f'=\sum_{j=0}^\infty a[j]\ i^{\underline j}\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}=\sum_{j=0}^\infty a[j]\ \sum_{i=0}^\infty \frac{i^{\underline j}}{i!}x^i=e^x\sum_{j=0}^\infty a[j]x^j
\]
也就是说，一个下降幂多项式 \(f(x)\) 的点值EGF \(f'\)，就是将 \(f\) 当成普通多项式，再乘上 \(e^x\)；然后，我们倒推回 \(f\) 的系数时，可以将 \(f'\) 卷上 \(e^{-x}=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!}x^i\)
注意次数要开到 \(2\times(n+m)\)
