莫队
1. 普通莫队
用来解决区间询问的问题：如果已知 \([l,r]\) 的答案，可以快速求得 \([l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]\) 的答案，就可以用莫队处理
如这道例题
如果我们在线做，就会要 \(O(nm)\) 的时间
那我们考虑离线，将询问按 \(l\) 为第一关键字，\(r\) 为第二关键字排序
这在随机数据中可以跑得飞快，但对于一些构造数据就不行了，例如：\((1,1),(2,n),(3,2),(4,n)...\) 这样会将你卡回 \(O(n^2)\)
这时候有人就想到一个方法：利用分块来排序
我们按 \(l\) 将询问分为 \(sqrt(m)\) 组，按照组号为第一关键字，组内按 \(r\) 为第二关键字排序
这样我们保证复杂度是 \(O(n \sqrt{n})\)
其实还有一个卡常技巧：我们可以用奇偶块排序，即当组号为偶数时，组内按 \(r\) 从小到大排；为奇数时，按 \(r\) 从大到小排，这样在挪动指针时可以充分利用
练习题：
2. 带修莫队
根据我们上面的分析，可以发现普通莫队是不支持修改的
但题目硬要修改怎么办
我们可以考虑将莫队的移动变成三维的：\((l,r,t)\)，\([l,r]\) 与原来的意义一样（计算区间），\(t\) 表示执行了前 \(t\) 个修改
对于 \(t\) 的移动，我们可以分两类讨论：
-
若修改位置 \(x\) 不在 \([l,r]\) 内，则操作忽略
-
否则，相当于删除一个元素，再增加一个元素
我们再来研究该怎么排序（默认比较后是从小到大的）：
-
首先，如果左端点所在的块不相同，则比较左端点
-
否则，再比较右端点所在的块：如果不相同，则比较右端点，反正最后比较 \(t\)
可以证明，当块的大小为 \(n/q^{\frac{1}{3}}\) 时是最优的（噢忘了提，普通莫队的最优的块的大小是 \(n/\sqrt{q}\)，但由于 \(n,q\) 一般是同阶的，所以也会默认为 \(\sqrt{n}\)），此时复杂度为 \(O(nq^{\frac{2}{3}})\)
练习题：
3. 回滚莫队
这是用来处理一类加入容易删除难的问题，即 \([l,r]\) 能快速转移到 \([l-1,r],[l,r+1]\)，但 \([l+1,r],[l,r-1]\) 较难
这些问题通常是答案要求取最大值或最小值，如果要删除，就要记录一堆信息
既然删除难，那我们就别删除嘛
于是就有人想出了回滚这操作，他的实现是这样的：
-
排序时，按照左端点所在的块为第一关键字从小到大排序，以右端点为第二关键字从小到大排序
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我们考虑每次处理一个块内的询问：莫队区间的左端点 \(nl\) 为 \(R[T]+1\)，右端点 \(nr\) 为 \(R[T]\)（其中 \(T\) 表示块，\(R[T]\) 表示块的右边界）
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然后我们分类讨论：对于左右点在同一个块的询问，我们直接暴力求出答案，\(nr\) 不做移动
-
对于左右点不在同一个块的询问，我们先移动 \(nr\) 到询问的右点，然后再将 \(nl\) 移到询问的左点，求出答案后，注意，我们要将 \(nl\) 滚回 \(R[T]+1\) 处，但 \(nr\) 不用撤回（因为块内的所以询问的右点是递增的，不会有删除的操作）
-
回滚的时候将桶、临时答案都恢复 \(nl\) 移动前即可
可以证明，回滚莫队的时间复杂度依然是 \(O(n\sqrt{m})\) 的，但常数略大；注意每次处理完一个块后要将桶和临时答案都清空
回滚莫队也可以处理删除容易加入难的题目，只需要以下地方稍作改动：
-
排序时，依旧按照左端点所在的块为第一关键字从小到大排序，但以右端点为第二关键字从大到小排序
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莫队区间初始化时，左端点 \(nl\) 为 \(L[T]\) （块的左边界），右端点 \(nr\) 为 \(n\)
-
回滚时 \(nl\) 是滚回 \(L[T]\) 的
分组最好从 \(1\) 开始，能省去不少麻烦RE
练习题：
4. 树上莫队
题意：求树链的颜色个数
由于莫队通常是处理区间问题，因此我们就要考虑将树拍成一个序列
我们考虑记录一个树的欧拉序，记 \(dfn[u]\) 为进入结点 \(u\) 时的序列位置， \(out[u]\) 为退出结点 \(u\) 时的序列位置
当询问一条树链 \((u,v)\) 时（假设 \(dfn[u]<dfn[v]\)），对应到序列上就是：区间 \([out[u],dfn[v]]\) 中只出现一次的点，加上 \(LCA(u,v)\)
真的是太妙了
而我们在做莫队的时候，我们就当第二次加入是删除，第二次删除是加入即可
练习题：
P4074 [WC2013] 糖果公园（树上带修莫队）
（如果出现 \(LCA(x,y)=x\) 的情况，询问的区间会出现 \(l>r\) 的情况，这其实并不影响答案的正确性；但如果实在要统一为 \(l\le r\)，那么我们可以询问 \([dfn[x], dfn[y]]\)，然后答案不要再计入 \(LCA\)）
5. 二次离线莫队
当加入或删除中有一方较困难实现时，我们可以利用回滚莫队做到
\(O(n\sqrt n)\)；但某些毒瘤的出题人 （比如lxl） 将每次修
改操作的复杂度升到 \(O(\log n)\) 甚至以上时，莫队似乎就不太
可行了
但道高一尺魔高一丈，于是就有人发明了一种新的科技：二次离线
莫队。它可以将原本 \(O(n\sqrt n\ k)\) 的时间降为 \(O(n\sqrt
n+nk)\)（\(k\) 为一次修改的复杂度）
我们先假设 \(x\) 对区间 \([l,r]\) 的贡献为 \(f(x,l,r)\)
二次离线莫队需要一个比较重要的条件：即 \(f(x,l,r)=f(x,1,r)- f(x,1,l-1)\)，即可差分性
显然，每次左指针移动时会产生的修改为
\(f(nl,nl+1,nr)=f(nl,1,nr)-f(nl,1,nl)\)，每次右指针移动时会
产生的修改为 \(f(nr,nl,nr-1)=f(nr,1,nr-1)-f(nr,1,nl-1)\)
显然\(f(x,1,x), f(x,1,x-1)\)我们可以用 \(O(n)\) 的时间预处理
出来，而且通常情况下自己对自己不会有贡献，因此有
\(f(x,1,x)=f(x,1,x-1)\)
现在考虑 \(f(nl,1,nr), f(nr,1,nl-1)\) 该如何求出
我们已经将问题转化为 \([1,pos]\) 这样的区间问题，那么我们就考虑用扫描线的方法
考虑将莫队的每次移动都记录下来，如 \(x,1,y\)，我们就将 \(x\) 记录到 \(y\) 的桶中，当扫描线扫到 \(y\) 时，用 \(O(1)\) 的时间得出答案
但如果要记录 \(n\sqrt n\) 个询问的话空间复杂度有些吃不消，而我们观察到对于每个询问，由于它的移动是连续的，而且一个指针移动时，另一个指针是不动的（也就是存入的桶相同），那我们就可以存入指针移动的左右端点
而这里也有个卡常小技巧，就是预处理 \(f(x,1,x)\) 时我们可以表示成前缀和的形式，在计入答案时就直接算 \(pre[R]-pre[L-1]\)（\([L,R]\) 就是指针移动的区间）
最后答案需要继承排序后的上一个询问的答案，因为我们每次记录的是莫队指针移动后贡献发生的变化
对于本题，我们先预处理出二进制有 \(k\) 个 \(1\) 的所有数，利用 \(a\oplus b=c \Leftrightarrow a\oplus c=b\)，处理出答案
这里注意一个点：莫队的指针要及时更新，否则会影响另一个指针存放的桶的位置！ （我不会告诉你我因为这里调试了一个下午的）
练习题：
P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II
（配合值域分块 \(O(\sqrt n)\) 插入，\(O(1)\) 查询）
6. bitset 优化莫队
这是一个经典的套路，难以概括，选择一道例题进行介绍
答案显然为 \((r_1-l_1+1)+(r_2-l_2+1)+(r_3-l_3+1)-3\times len\)，其中 \(len\) 为三个区间的公共颜色数
如果用 bitset 记录颜色，我们只能求出三个区间公共颜色的种数
实际上，我们可以将序列离散化，使一个数的新值为：比它小的数的个数+1
这样，在莫队加入一个数 \(a\) 时，我们就将 bitset 中 \(id[a]+cnt[a]-1\) 的位置标记为 \(1\)，\(id\) 就是离散化后的值， \(cnt\) 是指数值出现的次数
这样，我们在取三个区间的交集时，我们就可以直接通过数出 bitset 中 \(1\) 的个数，求得公共颜色的个数
注意到这道题：开一个大小为 \(10^5\times 10^5\) 的 bitset 显然还是比较吃力的，我们就考虑将询问分成三个部分，分开进行莫队
练习题：
精通了莫队，你就学会了卡常和水分
