线性基
线性基是用来解决子集异或一类问题的算法
先放个大佬写的详细解析
（我是学着ta的来写的）
先引入一些概念（下面的大写字母都表示一个“无符号整数集”）：
张成：
（看着像个人名...）
若 \(T\subseteq S\) ，则所有这样的子集 \(T\) 的异或和组成的集合为 \(S\) 的张成，记作 \(span(S)\)
线性相关：
若存在一个元素 \(a\in S\) ，使得 \(S\) 去掉这个元素后的集合 \(S'\) 的张成 \(span(S')\) 包含 \(a\) ，则称集合 \(S\) 线性相关
通俗地，这可以表示为：存在一个元素 \(a\in S\) ，可以被剩下的若干个元素异或起来得到
如果不存在这样的一个元素，则称这个集合 \(S\) 线性无关
显然，对于一个线性相关的集合 \(S\) ，有 \(span(S)=span(S')\)
线性基：
当集合 \(P\) 满足以下条件时，我们称 \(P\) 是 \(S\) 的线性基：
-
- \(S\subseteq span(P)\)
-
- \(P\) 线性无关
而 \(P\) 拥有以下性质：
-
- \(P\) 的任何一个真子集都不是线性基（也就是说 \(P\) 的长度是唯一确定的）
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- \(S\) 中任意一个元素，可以唯一表示为 \(P\) 中若干个元素的异或和
（这个性质很重要，用于一个数是否存在于 \(S\) 中的判断等）
- \(S\) 中任意一个元素，可以唯一表示为 \(P\) 中若干个元素的异或和
线性基的构造：
两种构造方法：
这两种线性基都需要满足以下条件：
-
- 若 \(p[i]=0\) ，则只有满足 \(j>i\) 的 \(p[j]\) 的第 \(i\) 位才可能上为 1 ；
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- 若 \(p[i]\not = 0\) ，则 \(p[i]\) 更高的二进制位（即 \(>i\) 的二进制位）一定为 0 ；\(p[i]\) 更低的二进制位（即 \(<i\) 的二进制位）可能为 1
- 对于每个新插入的数 \(a\) ，找出其二进制下最高的 1 所在的位置 \(i\) ，若 \(p[i]=0\) ，则让 \(p[i]=a\) ；否则将 \(a\) 异或上 \(p[i]\) ，重复上述步骤
针对这种方法的模板代码
（记住这种方法求最大值时要进行贪心）
- 第二种构造出来的线性基还需要满足以下性质：
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- 若 \(p[i]\not = 0\) ，则整个 \(p\) 数组中只有 \(p[i]\) 的第 \(i\) 位上为 1
则构造方法为：
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- 若 \(p[i]\not = 0\) ，则将 \(a\) 异或上 \(p[i]\)
-
- 若 \(p[i]=0\)
-
对于 \(j\in [0,i)\) ，若 \(a\) 的第 \(j\) 位为 1 ，则将 \(a\) 异或上 \(p[j]\)
-
对于 \(j\in(i,BIT_{MAX}]\) ，若 \(p[j]\) 的第 \(i\) 位为 1 ，则将 \(p[j]\) 异或上 \(a\)
-
最后令 \(p[i]=a\)
针对这种方法的模板代码
（这种方法求最大值时直接所有 \(p[i]\) 异或起来即可）
应用：
查询最小值：
一般是线性基中最小的元素，若有 \(0\) ，需要特判
查询一个数 \(a\) 是否能被异或出来：
从高到低，如果 \(a\) 在第 \(i\) 位上为 1 ，则异或上 \(p[i]\) ，重复上述步骤，如果最终 \(a=0\) ，说明可以被异或出来
查询异或第 \(k\) 小
我们如果能使第 \(i\) 位的选择不会影响后面几位的选择，那么我们就可以用类似于二叉树求第 \(k\) 小，对于当前一位选或不选，就会将排名分成两半；
因此我们只能使用第二种构造线性基的方法
例题1：P4151 [WC2011]最大XOR和路径
题意：求一条 \(1\) ~ \(n\) 的路径，使得经过的边权的异或值最大；注意：多次经过同一条边的时候，需要异或上多次边权
时刻记住：一条路径可以表示为一条主路径(链)+多个环
设边 \(k\) 是连接链和环的公共边，也就是这条边会被经过两次，显然它的贡献就是零
我们就可以转换成一条链的异或和，再异或上若干个环的异或和，得到最大值
因此，我们可以通过对所有环的异或和求线性基，以某条链的异或和为初始值，求异或和的最大值
但显然，我们不可能去一一枚举链，这样会超时
实际上，我们只需要任意选一条链进行操作
感性理解，我们将这条链异或上若干个环，可以表示出图中所有链的异或和
但是，由于给出的图可能不是仙人掌，我们只跑一条路径可能无法求出所有的环
但实际上，这并不会影响
（借用一下大佬的图）
图中，第一种求法只能求出环 \(\{2,3,4\}\), \(\{1,2,3,4\}\)
第二种求法只能求出环 \(\{1,2,4\}\), \(\{2,3,4\}\)
但显然，我们将环 \(\{1,2,4\}\) 异或上 \(\{2,3,4\}\)，得到的正好是 \(\{1,2,3,4\}\)
也就是说，即使不是仙人掌，但求出来的部分环可以通过相互异或得到其他的环
这对求得的线性基没有影响
因此，我们就得出此题的流程：
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- dfs，求出一条 \(1\) ~ \(n\) 的链
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- 在 dfs 的过程中，将遇到的环的异或和加入到线性基中
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- 以求得的链的异或和为初始值，进行求异或值的最大值
例题2：P3292 [SCOI2016]幸运数字
题意：给出一棵树，q次询问，问一条路径上的点权异或和的最大值
我们可以考虑在每个结点 \(u\) 上保存一个线性基 \((1,u)\)
当询问到 \((u,v)\) 时，我们将 \(u\) 和 \(v\) 的线性基进行合并，合并时选择记录时对应点深度 \(>=LCA\) 的值
但我们在求 \((1,u)\) 的线性基时，\(w[u]\) 可能无法被成功加入
显然，我们要求线性基内的值对应点的深度越大越好
于是，我们考虑，当遇到 \(p[i]\not =0\) 时，如果当前位存的值对应点的深度小于 \(a\) 对应的深度，我们就将 \(p[i]\) 与 \(a\) 进行交换，再继续操作，显然这是可行的
最后用合并后的线性基求出答案即可，时间复杂度为 \(O(nloga_{max}+qlog^2a_{max})\)
