高等数学1 函数极限连续

https://115.com/s/sw3twip3was#
高等数学
访问码：jc64
复制这段内容，可在115App中直接打开！

函数极限连续

函数极限连续
函数
函数概念
函数的表示
复合函数
反函数
分段函数
基本初等函数
函数性质
极限
数列极限与函数极限概念性质，存在准则
数列极限
函数极限
无穷小与无穷大
- 无穷小
- 无穷大
极限的计算
连续
连续性概念
连续函数的性质
初等函数的连续性

函数

函数概念

定义1

给定两个实数集$D$和$M$，若有对应法则$f$，使对$D$内的每一个数$x$，都有唯一一个数$y\in M$与它对应，则称$f$是定义在数集$D$上的函数。记作

\[f:D \rightarrow M \]

数集$D$称为函数$f$的定义域。$x$所对应的数$y$称为$f$在点$x$的函数值，常记为$f(x)$。全体函数值的集合$f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\} (\subset M)$ 称为函数$f$的值域。

$D\rightarrow M$表示按着法则$f$建立数集$D$到$M$的函数关系。习惯上，我们称此函数关系中的$x$为自变量，$y$为因变量。

函数的表示

公式法
列表法
图像法

复合函数

复合函数也可以由多个函数相继复合而成

当且仅当$E^*(\{x|g(x)\in D\}\bigcap E) \neq \emptyset$，函数$f$与$g$才能复合而成。

反函数

函数$f$有反函数，意味着$f$是$D$与$f(D)$之间的一个一一映射。

分段函数

绝对值函数

图像

符号函数

\[sgn \ x= \begin{cases} &1 &x>0 \\ &0 &x=0 \\ &-1 &x<0\\ \end{cases} \]

定义域为$D=(-\infin,+\infin)$，值域$R_f=\{-1,0,1\}$

$x=sgnx * |x|$

图像

取整函数

设$x$为任一实数，不超过$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$[x]$。

把$x$看做变量，则函数$y=[x]$ ，称为取整函数。

定义域为$D=(-\infin,+\infin)$，值域$R_f=Z$

图像

狄利克雷函数

黎曼函数

基本初等函数

常量函数 $y=c(c是常数)$；
幂函数 $y=x^a (a为常数)$；
指数函数 $y=a^x(a>0,a \neq 1)$
对数函数 $y=log_ax(a>0,a\neq1)$
三角函数

$y=sinx(正弦函数)$，$y=cosx(余弦函数)$，

$y=tanx(正切函数)$，$y=cotx(余切函数)$
反三角函数

$y=arsinx(反正弦函数)$，$y=arcosx(反余弦函数)$，

$y=artanx(反正切函数)$，$y=arcotx(反余切函数)$

指数运算

对于所有实数$a>0,m,n$，我们有以下恒等式

\[\begin{aligned} a^0&=1 \\ a^1&=a \\ a^{-1}&=1/a \\ (a^m)^n&=a^{mn}=(a^n)^m \\ a^ma^n&=a^{m+n} \end{aligned} \\ 对于所有n和a\geq 1,函数a^n关于n单调递增。\\ \]

我们假定$0^0=1$

多项式与指数的增长率比较

\[\begin{aligned}对所有使得a>1的实常量a和b,有 \\&\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^b}{a^n}=0 \\因此可得 \\&n^b=o(a^n)\end{aligned} \]

自然对数$e$

\[对于所有实数x,我们有 \\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^i}{i!} \]

\[对所有实数x，我们有不等式 \\ e^x\geq 1+x ,只有x=0时等号成立 \\ 当 |x|\leq 1时，有近似估计 \\ 1+x+x^2 \geq e^x \geq1+x \]

\[对所有x，我们有： \\ \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^n=e^x \]

对数运算

我们将使用以下记号：

$lgn= log_2n \tag{以2为底的对数} $

$ lnn\tag{自然对数} \$

$ lg^kn=(lgn)k\tag{取幂} \$

$ lglgn=lg(lgn)\tag{复合} \$

对所有实数$a>0,b>0.c>0和m,n$，有

\[\begin{aligned} a&=b^{log_ba} \\ log_c(ab)&=log_ca+log_cb \\ log_ba^n&=nlog_ba \\ log_ba&=\frac{log_ca}{log_cb} \\ log_b(1/a)&=-log_ba \\ log_ba&=\frac{1}{log_ab}\\ a^{log_bc}&=c^{log_ba} \end{aligned} \\ 其中，在上面的每个等式中，对数的底不为1\\ \]