Codeforces 1327E. Count The Blocks(组合计数)
链接:http://codeforces.com/contest/1327/problem/E
来源:Codeforces
题意:给你一个 \(n\),如果 \(n = 3\),那么一个数字的表示形式可以是 \(000,\) \(001,\) \(002,\) \(···,\) \(999\),现在给你一个 \(n\),如果是 \(000\),就算是一个长度为 \(3\) 的一个块,如果是 \(001\),就有两个块,一个块是长度为 \(2\) 的块,另外一个块是长度为 \(1\) 的块,某一个数字如果连续出现 \(len\) 个,那么就算是长度为 \(len\) 的块,现在给你一个 \(n\),在 \([0, 10^{n} - 1]\),中我们可以找到多少个长度为 \(i\) 的块。
思路:如果 \(n = 1\) 的时候,那么这一个位置我们可以放 [0, 9] 这 10 个数字,\(n = 2\) 的时候,如果 \(i == n\),那么我们可以发现,我们只能在 10 个数字中选择一个来填充这 n 个位置。如果 \(i < n\) 的时候,如果这个长度为 \(i\) 的块,在这个数字的两端,那么在某一端可以选择 \(10\) 个数字,在一端的旁边我们只能选择 \(9\) 个数字,这样我们就可以保证这个数字中有长度为 \(i\) 的块,那么剩下的 \(n - i - 1\) 个位置,每一个位置我们都可以放 \(10\) 个数字,如果在左端是这种情况,那么在右端也将是这种情况,此时这种情况的结果就是 \(10 * 9 * 10^{n - i - 1},n >= i + 1\);另外一种情况就是这个长度为 \(i\)的块在整个数字的中间,中间一共有的数字就是 \(n - 2\) 个,这 \(n - 2\) 个位置我们可以组成的满足条件的块就是 \(n - 2 - i + 1\) 个,每一种情况都是可以选择 \(10\) 个数字,在这个块的两端只能选择 \(9\) 个数字,此时可以构造一个满足条件的块,此时的结果就是 \((n - 2 - i + 1) * 10 * 9 * 9\),这个时候还剩下的位置就是 \(n - i - 2\) 个,这里每一个位置又可以选择 \(10\) 个数字,这种情况下的结果就是 \(10 * 9 * 9 *(n - 2 - i + 1) * 10^{n - i - 2},n >= i + 2\)。
# include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 10;
const int mod = 998244353;
int a[maxn];
ll quickPow(ll a, ll b) {
ll ans = 1, res = a;
while(b) {
if(b & 1) ans = ans * res % mod;
res = res * res % mod;
b >>= 1;
}
return ans % mod;
}
int main() {
int n; scanf("%d", &n);
a[n] = 10;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
if(n >= i + 1) a[i] = (1ll * 10 * 9 * quickPow(10, n - i - 1) % mod) * 2 % mod;
if(n >= i + 2) {
a[i] += 1ll * 10 * 9 * 9 * (n - 2 - i + 1) * quickPow(10, n - i - 2) % mod;
a[i] %= mod;
}
//cout << i << " " << a[i] << "------------" << endl;
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d%c", a[i], i == n ? '\n' : ' ');
return 0;
}