算法第三章作业

                     编辑距离问题
1.问题描述:
  设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括 (1)删除一个字符； (2)插入一个字符； (3)将一个字符改为另一个字符。 将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到 B的编辑距离，记为d(A,B)。 对于给定的字符串A和字符串B，计算其编辑距离 d(A,B)。

先考虑特殊情况，有三种:
1）s为空，t不为空；
2）t为空，s不为空；
3）s与t相等；
对于第一第二种情况，即在i等于0时，也就是说s为空，增加j个字符，使得s转化为t，在j等于0时，也就是说t为空，就是减少 i个字符，使得s转化为t。对于第三种情况，显然d(A,B)=0。

算法描述:
矩阵设为d[i][j]，保存从S[0:i]变到t[0:j]的编辑距离。这里S[0:i]变到t[0:j]有三种情况，要求出这三种情况的最小值作为最小操作数。分别为：
（1）设可以在k1个操作内将s[0：i-1]转换为t[0：j]，用k1+1次操作将s[0：i]转化为t[0：j]，只需要先在“s[0：i]转化为t[0：j]”的操作开端做1次移除操作移除s[i]将s[0:i]转化为s[0:i-1]，然后再做k1个操作就可以转换为t[0:j]。对应表格，既矩阵所求d[i][j]的左格。

（2）设可以在k2个操作内将s[0：i]转换为t[0：j-1]，用k2+1次操作将s[0：i]转化为t[0：j]，先用k2次操作将s[0:i]转化为t[0：j-1]，然后再执行1次插入操作在“s[0:i]变成t[0：j-1]的操作”的末尾插入“增加t[j]”的一次操作，即可将s[0:i]转化为t[0:j]。对应表格，既矩阵所求d[i][j]的上格。

（3）设可以在k3个操作内将s[0：i-1]转化为t[0：j-1] ，若s[i]==t[j]，S[0:i]变到t[0:j]就只要k3个操作，若s[i]！=t[j]，则需1次换操作加在s[0：i-1]转化为t[0：j-1]的操作数基础上就可以将S[0:i]变到t[0:j]，共k3+1次。对应所求d[i][j]的左上格。

递归式:
   d[j][i] =min(d[j-1][i-1]+1,min(d[j][i-1] + 1,d[j-1][i] + 1 ))  ， （s[i-1]!=t[j-1]）  1<=i<=m,1<=j<=n
   d[j][i] =min(d[j-1][i-1],min(d[j][i-1] + 1,d[j-1][i] + 1 ))   ，（s[i-1]==t[j-1]）  1<=i<=m,1<=j<=n

先根据特殊情况初始化边界：

 

再按自上而下，自左而右的方式填表:

 根据填表过程可得:

时间复杂度:O(M*N)

空间复杂度:O(M*N)

2.对于动态规划的问题，解决问题前得思考好各种可能出现的情况，并且写好三步：
      子问题标识符的含义;
      子问题递归公式;
      原问题最优解;

3.结对编程过程中我们先分别编程，队员用了贪心的思想导致根源性错误，而我用了递归的思想所以被要求用填表的方式做，最后做了出来。动态规划难在确定dp数组的含义，可能为一二维，甚至三维(暂时没遇到)，和其状态转移方程的填写。填表应先把边界填好再开始填复杂情况。