算法第二章上机报告

题目：

设计一个平均时间为O(n)的算法，在n(1<=n<=1000)个无序的整数中找出第k小的数。

提示：函数int partition(int a[],int left,int right)的功能是根据a[left]~a[right]中的某个元素x（如a[left])对a[left]~a[right]进行划分，划分后的x所在位置的左段全小于等于x,右段全大于等于x,同时利用x所在的位置还可以计算出x是这批数据按升非降序排列的第几个数。因此可以编制int find(int a[],int left,int right,int k)函数，通过调用partition函数获得划分点，判断划分点是否第k小，若不是，递归调用find函数继续在左段或右段查找。

输入格式:

输入有两行：

第一行是n和k，0<k<=n<=10000

第二行是n个整数

输出格式:

输出第k小的数

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

10 4
2 8 9 0 1 3 6 7 8 2

 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

   2

题目分析：

我们可以用快速排序来解决这个问题，先对原数组排序，再返回倒数第 k 个位置，这样平均时间复杂度是 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，但其实我们可以做的更快。
首先我们来回顾一下快速排序，这是一个典型的分治算法。我们对数组 a[l⋯r]做快速排序的过程是（参考《算法导论》）：

分解： 将数组 a[l⋯r]划分成两个子数组 a[l⋯q−1]、a[q+1⋯r]，使得 a[l⋯q−1]中的每个元素小于等于 a[q]，且 a[q]小于等于 a[q+1⋯r] 中的每个元素。其中，计算下标 q也是划分过程的一部分。
解决： 通过递归调用快速排序，对子数组 a[l⋯q−1]和 a[q+1⋯r]进行排序。
合并： 因为子数组都是原址排序的，所以不需要进行合并操作，a[l⋯r]已经有序。
上文中提到的划分过程是：从子数组 a[l⋯r]中选择任意一个元素 x 作为主元，调整子数组的元素使得左边的元素都小于等于它，右边的元素都大于等于它， x的最终位置就是 q。

由此可以发现每次经过划分操作后，我们一定可以确定一个元素的最终位置，即 x的最终位置为 q，并且保证 a[l⋯q−1]中的每个元素小于等于 a[q]，且 a[q] 小于等于 a[q+1⋯r]中的每个元素。所以只要某次划分的 q为倒数第 k个下标的时候，我们就已经找到了答案。 我们只关心这一点，至于 a[l⋯q−1]和 a[q+1⋯r] 是否是有序的，我们不关心。
因此我们可以改进快速排序算法来解决这个问题：在分解的过程当中，我们会对子数组进行划分，如果划分得到的 q 正好就是我们需要的下标，就直接返回 a[q]；否则，如果 q比目标下标小，就递归右子区间，否则递归左子区间。这样就可以把原来递归两个区间变成只递归一个区间，提高了时间效率。

#include<cstdio>
const int maxn=10010;

int partition(int a[], int left, int right){
	int base=a[left];
	int i=left, j=right, temp;
	while(i<j){
	while(i<j&&a[j]>=base) j--;
	while(i<j&&a[i]<=base) i++;
	if(i<j){
		temp=a[i];
		a[i]=a[j];
		a[j]=temp;
	}
	}
	a[left]=a[i];
	a[i]=base;
	return i;
}

int find(int a[], int left, int right, int k){
	int pos = partition(a, left, right);
	if(pos-left+1== k) return a[pos];
	else if(pos-left+1 < k)
		find(a, pos+1, right, k-pos+left-1);
	else
		find(a, left, pos-1, k);
}

int main(){
	int n, k;
	int a[maxn];
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i=0; i<n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	printf("%d", find(a, 0, n-1, k));
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)，如上文所述

心得：求前k个元素是面试常考题，其解决办法不局限于快排，还有堆排等算法，应熟练掌握这类题的解法。另外各大排序算法也应该熟练掌握。