编译原理（一道小证明题）

                作者：zuoxiaolong8810（左潇龙），转载请注明出处，特别说明：本博文来自博主原博客，为保证新博客中博文的完整性，特复制到此留存，如需转载请注明新博客地址即可。

                最近闲暇之余看看编译原理，娱乐一下，碰到一道小小证明题，于是心血来潮证明一下。

                LZ也是数学专业毕业的，当初上大学时每天做的最多的就是多达N个黑板的证明题，可惜啊，时光是残酷的，现在已不复往日了。

                不过看到证明题，尤其是简单的证明题，LZ积蓄了多年的数学细胞又被激发起来了，这就是青春啊，神马《致青春》的都弱爆了，总拿爱情说事，其实大学里还是有很多值得回忆的事的，比如证明题，LZ说这话会不会勾起了很多人的痛苦回忆。

                不过小证怡情，大证伤身，太长的证明题我们就不鸟咯（其实是LZ证明不出来，囧）。

                

                编译原理-->题目原型：

                1，证明：用下面文法生成的所有二进制串的值都能被3整除（提示：对语法分析树的节点使用数学归纳法）。

                                  num -> 11 | 1001 | num 0 | num num

                2，上面文法是否能生成所有能被3整除的二进制串？

                

                1、分析：该文法的终止符集为{11,1001,0}，非终止符集为{num}，起始符号为num，规则集{num->11,num->1001,num->num 0,num->num num}，由以上文法得到的二进制串，转换成抽象语法树之后，其叶子节点一定是11或者1001，而如果向树的根节点按照规则生成二进制串，则产生的方式有以下两种。

                       1）num 0

                       2）num num。

                      因而，我们只需要证明num 0 和num num的组合可以被3整除即可。

                      因为假设前者可以被证明，则语法树的任何一个节点都可以被3整除，并且在此基础上，所有组合方式都可以被3整除，故可得到此文法所得到的所有二进制串都可以被3整除。 

                      有了以上分析，那么证明过程非常简单。

                       证明：step 1：11和1001都可以被3整除（不解释）。

                                  step 2：若组合形式为num 0 ，因为 num 0 = 2 * num，故在step 1的前提下，num 0 的组合可以被3整除。

                                  step 3：若组合形式为num num，设num num为num1 num2 ，且num2为n位二进制串，则num num = num1 num2 = (2的n次方) * num1 + num2 ，故在step 1的前提下，num num的组合可以被3整除。

                                  step 4：综合step 1 、step 2 、step 3，由上述文法生成的所有二进制串都可以被3整除。

                  2、答案：非也，最显然的，0就无法由文法导出，另外非显然的，比如21=10101，也无法由文法导出，再比如给21乘个2，即42 = 101010，也无法导出，and so on。

                  

                  欧了，怡完情上床睡觉，各位晚安。