深入理解计算机系统（2.5）---二进制整数的加、减法运算（重要）

             2.3我们介绍了无符号编码和补码编码，本次我们来看一下在这两种编码下，整数的运算是如何进行的。看后之余，别忘了“点个推荐哦。”

 

引言

 

             平时的编程过程中，当进行整数运算时，经常会遇到一些奇怪的结果，比如两个正数加出负数，两个负数可以加出一个正数，这些都是由于数值表示的有限性导致的。下面我们来看看C语言和Java语言当中的例子。

    public static void main(String[] args) {
        int a = 0x7FFFFFFF;
        int b = 0x7FFFFFFF;
        System.out.println(a);
        System.out.println(b);
        System.out.println( a + b );
    }

             程序当中的a和b都是很大的正整数，结果它们相加会得到一个负数。

              接下来我们再来看看C语言当中的例子，它也会具有同样的特性。

#include <stdio.h>

int main(){
    int a = 0x7FFFFFFF;
    int b = 0x7FFFFFFF;
    printf("%d\n",a);
    printf("%d\n",b);
    printf("%d\n",a+b);
}

             我们来看看这个程序的结果，是否与Java一致。

             可以看到，在C于Java当中，结果都是一样的，所以我们有必要对二进制整数的运算做一些简单的了解。

 

无符号加法

 

             这里LZ不想按照书中的方式去介绍，我们换一种思路，来简单的了解一下吧。

             小时候学习加法时，我们都是使用的画表式，就是上面是被加数，下面是加数，然后左边写一个加号，逢10就进1，然后下面画一条横线，横线下面就是我们的结果。

             对于我们的二进制整数来说，其实也可以使用这种最原始的方式去计算，由此也可以认识到，二进制整数的加法也是非常简单的。只不过它与我们平时的十进制算法有一个最大的区别，那就是我们在计算机当中进行计算时，结果的位数都是有限制的。因此在我们计算过后，可能需要对结果进行截断操作。

             前面一章我们已经讲过有关截断的内容，那么很明显这里就可以用上了。这里使用的时候有一个前提，我们可以假设是进行w位的二进制运算，那么在运算之后的实际结果也一定是w位的。这里有两种情况，一种是结果依然是w位的，也就是w+1位为0。第二种则是达到了w+1位，这个时候我们需要将结果截断到w位。

             第一种情况则属于正常的加法运算，对于第二种来说，我们根据上一章的结论可以得到，假设完整的结果为sum，则实际的结果最终为 sum mod 2^w。

             在书中则是给出了一个公式，它得到这个结果的一个前提是两个操作数都满足小于2^w，它与我们上面取模的结果其实是一样的。

                                       

 

             这里LZ再稍微解释一下，对于第一种情况，x+y < 2^w，则sum mod 2^w是与sum一致的。对于第二种来说，当 2^w =< x+y < 2^w+1，对 x + y 进行2^w的取模运算，与 x + y - 2^w是等价的。

 

无符号的非

 

             无符号的加法会形成一个阿贝尔群，这意味着无符号加法满足一些特性。比如可交换，可结合等等。在这个群中，单位元为0，那么每一个群中的元素，也就是每一个无符号数u，都会拥有一个逆元u^-1，满足 u＋ u^-1 = 0。这个结论的来源是，对于w位上的无符号运算来讲，倘若两个无符号数的加法运算结果为2^w，也就是1后面跟w个0，此时截断之后的结果则为0。

             从以上的简单分析，我们可以很容易的得到一个无符号数的逆元满足以下公式（公式中的左边就是LZ写的u^-1，由于图中的符号在博文中不好编辑，所以LZ以u^-1替代）。

                                        

             

补码加法

 

             对于补码的加法来讲，我们会建立在无符号加法的基础上来进行，这么做的一个重要前提是，它们的位表示都是一样的。

             这里书上写的比较复杂，LZ这里稍微介绍的简单一点，其实补码加法就是先按照无符号加法进行运算，而后在进行无符号和有符号的转换。因此我们根据上面的结论可以得到，对于两个补码编码的有符号数来说，他们进行加法运算的最终结果为，假设实际的无符号结果为sum，那么最终的实际结果为 U2T_w(sum mod 2^w)。

             上面的这个结果看起来很简单，但实际上它的运算结果还是比较复杂的，书中给出了四种情况的分析，采用数学推导和证明的方式来说明，估计对一部分数学基础较差的猿友来讲，这是一种折磨，因此LZ这里将会省去这部分分析，如果有兴趣的猿友可以私底下看一下书中的原版内容。

             与无符号加法不同的是，这里会出现三种结果，一种是正常的结果，一种是正溢出，一种是负溢出。

             对于当正溢出的时候，我们的结果与无符号数类似，取模之后等价于减去2^w。而当负溢出的时候，则刚好相反，取模之后的结果等价于加上2^w。更直观的，由于我们最终可表示的补码数范围在-2^w-1（包含）到2^w-1之间，所以我们总是要试图将最终的实际结果保持在这个范围之内。于是我们可以直观的得到下面的结果。

                              

             

补码的非

 

              对于补码来说，它同样的与无符号有一样的特性，也就是对于任意一个w位的补码数t来说，它都有唯一的逆元t^-1，使得t + t^-1 = 0。

              一个w位的补码数的范围在-2^w-1（包含）到2^w-1之间，直观的可以看出，对于不等于-2^w-1的补码数x来说，它的逆元就是-x。而对于-2^w-1来说，它的二进制位表示为1后面跟着w-1个0，我们需要找到一个数与其相加之后结果为0。

              这种时候我们需要考虑的是，如果是-x，也就是2^w-1，则它的位表示需要w+1位，是不存在的。因此我们需要考虑溢出的情况，对照上面的公式2.14，负溢出的时候需要加上2^w，因此-2^w-1的逆元就是-2^w + 2^w-1 = -2^w-1，也就是它本身。

              综合上面的情况，最终我们可以得到补码的逆元满足以下公式（这里与上面一样，公式左边是LZ所说的逆元t^-1）。

                               

 

二进制整数的减法

 

             这一部分内容在书中没有介绍，而且书中也没有提及为什么没有介绍，因此LZ在这里简单的提上几句。

             减法运算其实是可以由加法运算替代的，我们上面已经介绍过了无符号和补码的非，其实很多CPU是没有减法运算器的，它们都是将减数进行逆运算以后送入加法器，然后进行加法运算，这样得出来的结果就是减法运算最终的结果。

             比如我们考虑一种简单的情况，当w = 4时的无符号减法运算，对于 5 - 4这个减法运算来说，我们可以由 5 + 4^-1（其中4^-1是4的逆元的意思，不是1/4的意思）来替代这个减法运算。

             为了更加直观，LZ带各位来算一下，首先4的逆元根据上面的公式可以得到为 4^-1 = 2⁴ - 4 = 12 。那么我们现在需要对5和12进行加法运算，它们的位表示分别为 0101和1100，结果为10001，也就是十进制17的位表示。不过由于我们的w = 4，因此截断之后结果为0001，也就是十进制的1。最终可以得到 5 - 4 = 1。

             对于5 - 4来说，是考虑的结果为正的情况。或许有的猿友会对结果为负或者说是无符号数溢出的情况下有疑问，因此LZ这里对这种情况也做一个简单的介绍。我们考虑一个简单的计算 0 - 1，我们可以得到1^-1 = 2⁴ - 1 = 15。此时对0和15进行加法运算，他们的位表示分别为0000和1111，结果为1111。

             看到这里估计有的猿友会奇怪了，这怎么回事，0 - 1 = 15？

             当然不是，这个结果其实是正确的。考虑使用补码编码来解析1111这个位表示，它代表的值就是-1。15是1111这个位表示在无符号编码情况下的解析结果。

             因此LZ这里也给出一个公式，就是对于两个整数x和y来说，x - y = x + y^-1。这里需要特别说明的是，这个公式代表的意义是位表示，而不是实际的数值。

 

文章小结

 

             本次我们主要介绍了二进制整数的加法运算，除此之外LZ还多加了一部分，就是减法的简单介绍。下一章我们将继续讲解整数的乘除法运算。