深入理解计算机系统（2.3）---整数的表示方式精解》无符号与补码编码（重要）

           上一章我们简单的介绍了布尔代数以及C语言的位运算，本次我们主要来看，二进制如何表示整数，这是很重要的一章，希望各位猿友莫要错过。

 

C语言中的整数类型及范围

 

           我们依然以C语言为例，C语言当中提供了多种整数类型，一共十种，位数为1、2、4、8，其中32位机器上，4位的有两种，在64位机器上，8位的有两种。具体的LZ这里就不多做介绍了。以下是32位和64位系统上，这十种整数的范围。

            上述是C语言中各个整数类型的表示范围，不过C语言有它的最小数值范围，也就是说C语言要求这些数据类型至少要满足一个标准的范围。下图是C语言对整数类型要求的最小表示范围。

       

            仔细看的话，可以发现，C语言只要求有符号数的范围是对称的，另外就是int和long类型的位数要求都比较低，分别是2位和4位。

 

无符号编码

 

            可以看到以上的表中，每一种整数类型都可以加unsigned关键字，来表示一个无符号数，即没有正负之分。在书中，给出了无符号数的定义，LZ将它简化一下，对于一个w位的二进制来说，它的无符号表示为以下形式。

                                                      

             对于一个无符号编码来说，它的最大值和最小值很好确定，对于一个w位的二进制序列来说，当所有位都为0时，则为最小值，即

                                                        UMin_w = 0

             而当所有位都为1时，则为最大值，根据等比数列的求和公式，即

                                                        UMax_w = 1 * (1-2^w) / 1 - 2 = 2^w - 1 

             如果把上述的定义看成是一个函数的话，那么这个函数就是一个双射。也就是说，对于任意整数x，当0 =< x < 2^w的时候，存在唯一的二进制序列与其对应。反过来也是一样的，对于任意一个w位的二进制序列，都存在唯一一个整数x满足0 =< x < 2^w，与这个二进制序列对应。

             无符号编码属于相对较简单的格式，因为它符合我们的惯性思维，上述定义其实就是对二进制转化为十进制的公式而已，只不过在一向严格的数学领域来说，是要给予明确的含义的。

 

补码编码

 

             无符号编码符合人的惯性思维是没错，但是可惜的是，它无法表示负整数。因此我们需要一种能够表示负数的整数表示方式，这就是补码编码。与无符号编码一样，书中依然给出了补码编码的定义，即对于任意一个w位的二进制来说，它的补码表示为以下形式。

                                                 

             这里最高位x_w-1为符号位，当它为1时，该公式得到的值为负数，当为0时，得到的则为正数。

             我们观察这个公式，不难看出，补码格式下，对于一个w位的二进制序列来说，当最高位为1，其余位全为0时，得到的就是补码格式的最小值，即

                                                     TMin_w = -2^w-1 

             而当最高位为0，其余位全为1时，得到的就是补码格式的最大值，根据等比数列的求和公式，即

                                                     TMax_w = 1 * (1 - 2^w-1) / 1 - 2 = 2^w-1-1

             与无符号编码一样，如果把上述的定义看成是一个函数的话，那么这个函数同样是一个双射。也就是说，对于任意整数x，当-2^w-1 =< x < 2^w-1的时候，存在唯一的二进制序列与其对应。反过来，对于任意一个w位的二进制序列，都存在唯一一个整数x满足-2^w-1 =< x < 2^w-1，与这个二进制序列对应。

             相对于无符号编码来说，补码编码与我们的惯性思维有些不同，因此直观的理解起来会有些别扭，不过作为一个程序猿，我们应该有一颗半机器的脑子，尽量去适应机器的习惯。

 

两种编码的转换

 

             在C语言当中，我们经常会使用强制类型转换，而在之前的章节中，LZ也提到过强制类型转换。强制类型转换不会改变二进制序列，但是会改变数据类型的大小以及解释方式，那么考虑相同整数类型的无符号编码和补码编码，数据类型的大小是没有任何变化的，变化的就是它们的解释方式。比如1000这个二进制序列，如果用无符号编码解释的话就是表示8，而若采用补码编码解释的话，则是表示-8。

             考虑到上面我们已经说过，无论是无符号编码还是补码编码，其映射方式都是双射，因此它们都一定存在逆映射。如果我们定义U2B_w(x)为B2U_w(x)的逆映射，则对于任意一个整数x，如果0 =< x < 2^w，经过U2B_w(x)的计算之后，将得到唯一一个二进制序列。同样的，如果我们定义T2B_w(x)为B2T_w(x)的逆映射，则对于任意一个整数x，如果-2^w-1 =< x < 2^w-1，经过T2B_w(x)的计算之后，也将得到唯一一个二进制序列。

             可以很明显的看出，对于0到2^w-1-1这个区间内的整数来说，两种编码得到的二进制序列是一样的。为了得到其它区间里的整数的映射关系，我们定义

                                              T2U_w(x) = B2U_w(T2B_w(x))

             这个函数代表的含义是补码编码转换为无符号编码的时候，先将补码编码转换为二进制序列，再将二进制序列转换为无符号编码，最终也就是补码编码转为无符号编码的计算。

             下面我们简单的推算一下上面的定义，究竟是如何转换的，也就是无符号编码与补码编码的关系。我们将上面无符号编码和补码编码的公式相减，

             即                              B2U_w(x) - B2T_w(x) = x_w-12^w-1 - (-x_w-12^w-1) = x_w-12^w 

             即                                           B2U_w(x) = x_w-12^w + B2T_w(x)

             此处我们令x为T2B_w(x)，则          B2U_w(T2B_w(x)) = x_w-12^w + B2T_w(T2B_w(x)) = x_w-12^w + x

             即                                            T2U_w(x) = x_w-12^w + x

             此时考虑x_w-1的情况，当x_w-1为1时，也就是补码编码表示负数的时候，T2U_w(x)则为2^w + x 。（LZ小提示：此时x为负数，也就是说2^w + x < 2^w）

             若x_w-1为0时，则补码编码为正数，此时T2U_w(x) = x 。

             综上可知，有下列式子成立

                                                

             从这个式子中可以很明显的看出，最终得到的无符号数范围为0 =< x < 2^w。

             下图为表示补码编码与无符号编码的对应关系，可以看出在0至2^w-1-1之间，两者是相等的，而其余区间则不同。

                                                   

             相反，我们用同样的方式也可以证明从无符号编码到补码编码的公式，这一部分书中省略了，LZ这里还是写上来，以免有的猿友不知所云。我们依然将无符号编码和补码编码的公式相减

             即                              B2U_w(u) - B2T_w(u) = u_w-12^w-1 - (-u_w-12^w-1) = u_w-12^w 

             即                                           B2T_w(u) = B2U_w(u) - u_w-12^w

             此时我们令u为U2B_w(u)，则    B2T_w(U2B_w(u)) = B2U_w(U2B_w(u)) - u_w-12^w = u - u_w-12^w

             即                                           U2T_w(u) = u - u_w-12^w

             此时考虑u_w-1的情况，当u_w-1为0时，也就是无符号编码数值小于2^w-1的时候，U2T_w(u)则为u 。

             若u_w-1为1时，也就是无符号编码数值大于或等于2^w-1的时候，此时U2T_w(u)= u - 2^w。（LZ小提示：此时U2T_w(u)为负数，因为 u < 2^w）

             综上，我们可以得到无符号编码转换为补码编码的公式

                                                       

             同样的，在0至2^w-1-1之间，两者依然是相等的，而其余区间则不同。

                                                      

            

小例子

 

             以上则是我们讨论的有符号编码与补码编码的内容，下面为了让大家更好的理解上面的公式的含义，LZ带大家写一个小程序，我们来直观的在两者之间做一下强制转换，看下得到的值是否满足我们上面的结论。

             为了简单起见，我们取w为8，也就是我们只采用char类型作为例子，否则位数太高的话，算起来比较麻烦。LZ本次采用32位WIN7系统下，VS2010作为例子的编译环境。

#include <stdio.h>

int main(){
    char t = 0xFF;
    unsigned char u = 0xFF;
    printf("t=%d u=%u\n",t,u);
    printf("t2u=%u u2t=%d\n",(unsigned char)t,(char)u);
}

             我们给了两个同样的二进制序列0xFF，都是8个1，我们分别用补码编码和无符号编码去解释它们，并在后面使用强制转换在补码编码和无符号编码之间互相转换，得到以下结果。

t=-1 u=255
t2u=255 u2t=-1

             这里LZ就不再写计算的过程了，这个计算并不难。各位猿友可以自己套用上面的（2.6）和（2.8）公式去计算，看看是否符合公式的规定。

 

本章小结

 

             本章主要介绍了二进制表示整数时采用的无符号编码以及补码编码，也算是至今为止最难的一章了，因为搀和到了证明，尽管这是很简单的证明。各位猿友若看不懂的话，可以去LZ的交流群询问，希望猿友们不要中途放弃。