机器学习算法之概率分类法

对模型给予概率进行分类的手法称为概率分类法。给予概率是指对于模式X所对应的类别y的后验概率（y|x）进行学习。其所属类别为后验概率达到最大值时所对应的类别。

基于概率的模式识别的算法除了可以避免错误分类，还具有一个优势。就是的对多分类通常会有一个号的效果。

一、Logistic回归

首先，来看一下最基本也是最常见的概率分类算法-----logistc回归。

1、Logistic的最大似然估计

Logistic回归，使用线性对数函数对分类后验概率p（y|x）记性模型化。

分母是满足概率总和为1 条件约束的正则化项。参数θ有bc维。

Logistic回归模型的学习，通过对数似然维最大时的最大似然估计进行求解。

Logistic回归的学习模型由下式的最优化问题定义：

上述的目标函数对于参数θ时可以微分的，所以可以使用梯度下降法来求最大似然那估计的解。

下面是使用概率梯度下降法的Logistic回归学习算法的伪代码

 

 2、使用Logistic损失最小化学习来解释

以2分类问题进行说明

y ∈{+1，-1}，q（y=+1 | x；θ）+q（y= -1|x；θ） =1

Logistic的参数由2b个降到b个

这个模型的对数似然最大化的准则

可以改写为上述形式。根据关于参数的线性模型

的间隔m = f（x）y，可知上式与Logistic损失

的Logistic损失最小化学习是等价的。

二、最小二乘概率分类

最小二乘分类是在平方误差的准则下，与Logistic回归具有相同学习的算法。

 最小二乘分类器的线性模型：

与Logistic模型不同的是，这个模型只依赖于与各个类别y对应的参数。然后，对于这个模型进行学习，使下式的平方误差最小。

 

 

上式第二项中

p（y|x）p（x）利用贝叶斯公式进行变换。

p（y|x）p（x） = p（xy） = p（x|y）p（y）

分别表示与p（x）和p（x|y）相关的数学期望值。这些期望值一般无法直接计算。而是用样本的平均值来进行近似。

再加入l2正则化项，将最小平方误差公式记为：

对其求偏导数并置为0，得到θ的解