图论杂项

rt，一些琐碎的知识点，可能会补充例题。

欧拉路径

定义

• 欧拉路径：每条边都通过一次的路径。

• 欧拉回路：起点和终点都相同的路径。

• 有向图弱联通：将有向边当成无向边后原图联通

分析

对于欧拉路径的判定，通常从点的出度和入度下手分析。下面以无向图为例分析。

如果一个点是起点。从这个点出发以后，每经过一次这个点，都要从一条入边进，一条出边出。

可以推断出这个点的度数一定是奇数，同理可以得到终点的度数为奇数。

特殊的，如果最后从一条入边回到起点，则可以找到一条欧拉回路。

判断结论：

1. 无向图存在欧拉路径：无向图联通，且仅两个点度数为奇数。

2. 无向图存在欧拉回路：无向图联通，所有点度数均为偶数。

3. 有向图存在欧拉路径：有向图弱联通，且一个点入度比出度少一，一个点出度比入度少一，其余点入度等于出度。

4. 无向图存在欧拉回路：有向图弱联通，所有点入度均等于出度。

实现

欧拉路径的查找通常使用 \(\text{DFS}\)。

//有向图DFS:

//cout<<x<<" "; 错误写法
for(int i=last[x];i<g[x].size();i=last[x]){
   last[x]=i+1;
   dfs(g[x][i]);
}
stk[++top]=x;

output:

dfs(s);
 while(top)printf("%d ",stk[top--]);

第一种写法的错误之处在于没有将欧拉路径嵌套在一起，导致欧拉路径分成了多个不连续的段落。

往往一张图的欧拉路径有许多，题目会要"输出字典序最小的方案"。常见的处理方法是贪心：用 vector 存图，将每一个图所联通的点按大小排序。

例题

P7771 【模板】欧拉路径

模板题，写了就行