回溯法

概念

回溯法是把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：

　　1.使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；

　　2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

问题的关键在于如何定义问题的解空间，使之转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。

当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

它有“通用解题法”之美誉。

例子

N皇后问题。解空间是一棵排列树。所以时间复杂度为O(n!)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>


int constraint(const int *arr, int row)
{
    for (int i = 0; i < row; ++i)
    {
        if (arr[i] == arr[row] || arr[i]-arr[row] == i-row || arr[i]-arr[row] == row-i)
        {
            return 0;
        }
    }

    return 1;
}


void queen(int *arr, int len, int row, int *num)
{
    if (row == len)
    {
        (*num)++;
    }
    else
    {
        for (int col = 0; col < len; ++col)
        {
            arr[row] = col;
            if (constraint(arr, row))
            {
                queen(arr, len, row+1, num);
            }
        }
    }
}


int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n = -1;
    int num = 0;

    printf("input num of queen: ");
    scanf("%d", &n);

    // arr数组的索引代表“行数”，元素的值代表“列数”
    int *arr = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    if (arr)
    {
        memset(arr, 0, n * sizeof(int));
        queen(arr, n, 0, &num);
        printf("%d\n", num);

        free(arr);
    }

    
    return 0;
}

 数独

#include <stdio.h>
#include <string.h>


#define ARRSIZE 9


int constraint(int (*arr)[ARRSIZE], int row, int col, int opt)
{
    for (int i = 0; i < ARRSIZE; ++i)
    {
        if (opt == arr[i][col] || opt == arr[row][i])
        {
            return 0;
        }
    }

    int endrow = (row/3+1)*3;
    int endcol = (col/3+1)*3;
    for (int i = row/3*3; i < endrow; i++)
    {
        for (int j = col/3*3; j < endcol; ++j)
        {
            if (opt == arr[i][j])
            {
                return 0;
            }
        }
    }

    return 1;
}


void sudoku(const int (*initArr)[ARRSIZE], int (*arr)[ARRSIZE], int row, int col)
{
    if (row == ARRSIZE)
    {
        for (int i = 0; i < ARRSIZE; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < ARRSIZE; ++j)
            {
                printf("%d ", arr[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
    }
    else
    {
        if (initArr[row][col] != 0)
        {
            if (col < ARRSIZE-1)
            {
                sudoku(initArr, arr, row, col+1);
            }
            else
            {
                sudoku(initArr, arr, row+1, 0);
            }
        }
        else
        {
            for (int i = 1; i <= ARRSIZE; ++i)
            {
                if (constraint(arr, row, col, i))
                {
                    int tmp = arr[row][col];
                    arr[row][col] = i;

                    if (col < ARRSIZE-1)
                    {
                        sudoku(initArr, arr, row, col+1);
                    }
                    else
                    {
                        sudoku(initArr, arr, row+1, 0);
                    }

                    arr[row][col] = tmp;
                }
            }
        }
    }
}


int main()
{
    int arr[ARRSIZE][ARRSIZE] = {
        {8,0,0,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,3,6,0,0,0,0,0},
        {0,7,0,0,9,0,2,0,0},
        {0,5,0,0,0,7,0,0,0},
        {0,0,0,0,4,5,7,0,0},
        {0,0,0,1,0,0,0,3,0},
        {0,0,1,0,0,0,0,6,8},
        {0,0,8,5,0,0,0,1,0},
        {0,9,0,0,0,0,4,0,0}
    };
    int initArr[ARRSIZE][ARRSIZE];

    memcpy(initArr, arr, ARRSIZE*ARRSIZE*sizeof(int));

    sudoku(initArr, arr, 0, 0);

    return 0;
}