字符串哈希笔记
字符串哈希
1. 定义
一个把字符串映射到整数的函数\(f\)，这个\(f\)被称为哈希函数；
这个函数的作用：希望可以判断两个字符是否相等；
1.1 Hash的思想
核心思想在于：
如何将一个字符串映射到一个值域较小、方便比较的范围？
大范围映射到小范围：
对一个大数进行取模，例如一个大的质数
注意：
- 在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较， 例如\(10^ {18}\) 或者 \(10^ 9\) 都是可以快速比较的）
哈希性质：
- 若Hash值不一样，那么两个字符串一定不相等；
- 若Hash值一样，那两个字符串不一定相等，当时大概率一样；
将 Hash 函数值一样但原字符串不一样的现象称为哈希碰撞。
1.2 Hash的计算和改进
哈希需要关注的有时间复杂度和Hash的准确率
对于一个长度为L的字符串s来说，可以这样定义Hash的表达式如下:
\[f(s) ={ \sum \limits_{i=1}^L {s[i] * b^{L - i}} }\ (mod\ {M})
\]
即对于字符串s = "xyz"来说，如下计算
| ０ | １ | ２ |
|---|---|---|
| x | y | z |
其中哈希值计算公式为: \(f(s) = xb^2 + yb + z\),可以理解为一个P进制的计算;
经验选择:
- \(M = 2^{64}\), 即
unsigned long long类型的最大取值范围; - \(b = 131\)或者 \(b = 13131\)
1.3 自己的常用实现
具体例子： 字符串S为\(X_1X_2X_3...X_n\)，把字符串变成一个P进制数字，具体方法如下：
\[(X_1P^{n-1} + X_2P^{n-2} + ... + X_iP^{n - i} + ... + X_nP^0) \ mod \ Q
\]
为了方便计算P[N]，可以提前计算好每个值，如下：
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1E5+7;
const int p = 131;
ULL P[N], s[N];
void init() {
P[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
P[i] = P[i-1] * p;
}
求一个字符串的哈希值就相当于求前缀和，求一个字符串的子串哈希值就相当于求部分和;
前缀和公式：
\[h(i+1) = h(i) * P + s[i], \ i \ \epsilon \ [0,n-1]
\]
区间和公式：
\[h[l,r] = h[r] - h[l - 1]P^{r - l + 1}
\]
字符串中求子串的哈希的区间和公式的理解：
ABCDEF和ABC的前三个字符串一样，那么子串DEF的哈希值计算可以理解为ABC的哈希值 * P^2变成ABC000，则俩式做减法即可得DEF的哈希值
代码的简单实现如下：
unsigned long long getHash(int l ,int r) {
return h[r] - h[l-1] * P[r-l+1];
}
2. 代码实现
2.1 暴力版本:
#include <iostream>
#include <cstring>
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1E5+7;// 字符串最大长度
const int b = 131;
const int M = 1E9+7;
ULL getHash(const string &s) {
ULL res = 0;
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
res = (s[i] + res * b) % M; // 这里如果越界了,即等于 Mod 2^64
}
return res;
}
2.2 字符串前缀和哈希
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1E5+7;
const int p = 131;
ULL P[N], s[N];
void init(int n) {
P[0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
P[i+1] = P[i] * p;
h[i+1] = h[i] * p + s[i];
}
unsigned long long getHash(int l ,int r) {
return h[r] - h[l-1] * P[r-l+1];
}
