HDU 3507 Print Article（斜率优化推导）

$dp$，斜率优化。

第一次做斜率优化的题目，看了一些题解，自己总结一下。

这题是说有$n$个数字，可以切成任意段，每一段的费用是这一段数字的和平方加上$M$。问最小费用是多少。

设$dp[i]$为$1$至$i$分段的最小费用，那么$dp[i]=min(dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2)$。

直接计算的话，时间复杂度是$O(n^2)$，但是这题$n$有$500000$，稳稳的超时。因此，有人想出了斜率优化......

假设有三个位置$a$,$b$,$c$，$a<b<c$。

用$dp[a]$推$dp[c]$：$dp[c]=dp[a]+M+(sum[c]-sum[a])^2$

用$dp[b]$推$dp[c]$：$dp[c]=dp[b]+M+(sum[c]-sum[b])^2$

如果用$b$推$c$比用$a$推$c$要优，即$dp[a]+M+(sum[c]-sum[a])^2>dp[b]+M+(sum[c]-sum[b])^2$。

那么，化简可以得到$[(dp[b]+sum[b]^2)-(dp[a]+sum[a]^2)]/(2*sum[b]-2*sum[a])<sum[c]$。

设$yb=dp[b]+sum[b]^2$，$ya=dp[a]+sum[a]^2$，$xb=2*sum[b]$，$xa=2*sum[a]$。

那么：如果$a<b<c$，且$k[b,a]=(yb-ya)/(xb-xa)<sum[c]$，就可以说 用$b$推$c$比用$a$推$c$要优。

接下来，看一种情况：

设有四个位置：$a<b<c<d$。分别用$a,b,c$位置去推$d$位置。

如果$k[c,b]<k[b,a]$，那么$d$位置的$dp$值绝对不可能从$b$位置推过来。

简单证明如下：

如果$k[b,a]<sum[d]$，也就是说$b$比$a$优，但是$c$比$b$优，所以$b$没用。

如果$k[b,a]>=sum[d]$，也就是说$a$比$b$优，$b$也没用了。

所以在$a<b<c$且$k[c,b]<k[b,a]$的情况下，$b$位置就一定是没用的。

利用上述加红加粗的两个性质，就可以优化这个问题了。需要用一个队列来维护目前还可能往后递推的位置。

计算$dp[i]$的时候，因为队列中相邻两点$x,y$形成的线段的斜率是不断增加的，需要找到第一个不满足$k[y,x]<sum[i]$的$x$，并且$x$之前所有元素均可以从队列中删去，因为$sum[i+1]>sum[i]$，在推$dp[i]$的时候已经用不到那些元素了（被删的元素满足第一条红色性质，都没有$x$优），在推$dp[i+1]$的时候就更加用不到了。

计算得到$dp[i]$之后，可以利用第二条红色性质更新队列，为计算$dp[i+1]$做准备。每次取出队列尾部两个元素和$i$去计算，看是否满足性质$2$，满足的话，队尾就被删了；否则更新结束。

然后计算$dp[i+1]$.......

这样一优化，每个点最多被入队一次，最多出队一次，时间复杂度降到了$O(n)$。

第一次学习斜率优化，感到有一些神奇巧妙，但好像有点难啊......

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double pi=acos(-1.0),eps=1e-10;
void File()
{
    freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    freopen("D:\\out.txt","w",stdout);
}
template <class T>
inline void read(T &x)
{
    char c = getchar();
    x = 0;
    while(!isdigit(c)) c = getchar();
    while(isdigit(c))
    {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
}

int n,m;
int q[600000],dp[600000], sum[600000];
int f1,f2;

bool check(int a,int b,int c)
{
    //ba斜率大于等于sum[c] return 1; 否则 return 0;
    if(dp[b]+sum[b]*sum[b]-dp[a]-sum[a]*sum[a]<sum[c]*2*(sum[b]-sum[a])) return 0;
    return 1;
}

bool check2(int a,int b,int c)
{
    //bc斜率大于等于ab 则不删b，否则就删b
    //cb斜率大于等于ba return 1; 否则 return 0
    if((dp[c]+sum[c]*sum[c]-dp[b]-sum[b]*sum[b])*2*(sum[b]-sum[a])<(dp[b]+sum[b]*sum[b]-dp[a]-sum[a]*sum[a])*2*(sum[c]-sum[b]))  return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        sum[0]=0; f1=0;f2=-1;

        int cnt=0;

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;  scanf("%d",&x);
            if(x==0) continue;
            cnt++;
            sum[cnt]=sum[cnt-1]+x;
        }

        f2++; q[f2]=0;

        n=cnt;

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(1)
            {
                if(f2-f1+1<2) break;
                if(check(q[f1],q[f1+1],i)) break;
                f1++;
            }

            dp[i]=dp[q[f1]]+(sum[i]-sum[q[f1]])*(sum[i]-sum[q[f1]])+m;

            while(1)
            {
                if(f2-f1+1<2) break;
                if(check2(q[f2-1],q[f2],i)) break;
                f2--;
            }

            f2++; q[f2]=i;
        }

        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}