CodeForces 711E ZS and The Birthday Paradox

抽屉原理，快速幂，逆元，概率。

如果$k > {2^n}$，根据抽屉原理可知，答案就是$1$ $1$。

否则概率一定小于$1$，就要计算，公式很简单，上过概率论的应该都会算。

概率为：$1 - \frac{{({2^n} - 0)*({2^n} - 1)*({2^n} - 2)*({2^n} - 3)*......*({2^n} - (k - 1))}}{{{2^{nk}}}}$ $ = 1 - \frac{{({2^n} - 1)*({2^n} - 2)*({2^n} - 3)*......*({2^n} - (k - 1))}}{{{2^{n(k - 1)}}}}$。

下面我们来计算这一部分：$\frac{{({2^n} - 1)*({2^n} - 2)*({2^n} - 3)*......*({2^n} - (k - 1))}}{{{2^{n(k - 1)}}}}$。

因为分母是$2$的幂次，所以分子和分母的$GCD$肯定是$2$的幂次。设$GCD={2^{tmp}}$。$tmp$的求法很简单，就是$1,2,3,4,5,...,k-1$这些数能被$2$整除的次数之和。

然后我们要将分子分母同时除以${2^{tmp}}$，可以转化为$×{2^{tmp}}$的逆元。

这个时候又遇到了一个难题：分子的项这么多，怎么求？

仔细思考一下会发现，分子是连续的$k-1$个数字相乘，如果$k-1>=mod$，根据抽屉原理可知，分子中必然有一个数字是$mod$的倍数。

也就是说，如果$k-1>=mod$，那么分子取模之后就是$0$；如果$k-1<mod$，那么暴力循环一遍算出分子就可以了。

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
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#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double pi=acos(-1.0),eps=1e-8;
void File()
{
    freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    freopen("D:\\out.txt","w",stdout);
}
template <class T>
inline void read(T &x)
{
    char c = getchar(); x = 0;while(!isdigit(c)) c = getchar();
    while(isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();  }
}

LL mod=1e6+3,pmod=mod-1;
LL n,k;

LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(a==0&&b==0) return -1;
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    LL d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

LL mod_reverse(LL a,LL p)
{
    LL x,y;
    LL d=extend_gcd(a,p,x,y);
    if(d==1) return (x%p+p)%p;
    else return -1;
}

LL POW(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1; a %= mod;
    while(b)
    {
        if(b & 1) ans = ans * a % mod, b--;
        b >>= 1; a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    LL u=1; bool flag=0;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    {
        u=u*(LL)2;
        if(k<=u) { flag=1; break; }
    }
    if(flag==0) printf("1 1\n");
    else
    {
        LL fz,fm;
        LL h=(n%pmod)*(((k%pmod)-1+pmod)%pmod)%pmod+pmod;
        fm=POW((LL)2,h);
        LL tmp=0; for(LL i=2;i<=k-1;i=i*2) tmp=tmp+(k-1)/i;
        LL GCD=POW((LL)2,tmp);
        LL NI=mod_reverse(GCD,mod);
        fm=fm*NI%mod;
        if(k-1>=mod) printf("%lld %lld\n",fm,fm);
        else
        {
            fz=1; for(LL i=1;i<=k-1;i++) fz=fz*((POW((LL)2,n)-i+mod)%mod)%mod;
            fz=fz*NI%mod;
            fz=(fm-fz+mod)%mod;
            printf("%lld %lld\n",fz,fm);
        }
    }
    return 0;
}