CodeForces 707C Pythagorean Triples

数学，构造。

这题比较有意思，一开始没发现结论写了一个最坏复杂度为$O({10^9})$暴力居然能$AC$，正因为如此，我才发现了规律。

一开始是这么想的：

先假设$n$为直角边，设斜边长度为$c$，另一条直角边长度为$b$，因此有${c^2} - {b^2} = {n^2}$。

左边因式分解得到：$(c + b)(c - b) = {n^2}$。我们记$A = c + b$，$B=c-b$。那么：$c = \frac{{A + B}}{2}$，$b = \frac{{A - B}}{2}$。

因此，如果我们能找到${n^2}$的两个因子$A$和$B$，使得$A×B={n^2}$，并且使得$c$和$b$都是不为$0$的整数，那么就找到了在$n$作为直角边的情况下的答案。

如果上述条件下没有找到解，那么就设$n$作为斜边，设两个直角边分别为$a$和$b$，然后暴力枚举$a$，判断${n^2} - {a^2}$是否为平方数，如果是，那么就找到解了。

这样的方法看似会超时，实际上居然能$AC$......然后我把后半部分$n$作为斜边的删了，也照样能$AC$。

然后我就开始思考$n$作为直角边时候有什么规律在....后来发现了。

我们再来观察$n$作为直角边时候的答案：$c = \frac{{A + B}}{2}$，$b = \frac{{A - B}}{2}$。

如果${n^2}$是奇数，那么我们假设$B=1$，$A={n^2}$，这样构造就能保证$c$和$b$都是整数啦。

如果${n^2}$是偶数，那么我们假设$B=2$，$A = \frac{{{n^2}}}{2}$，这样构造也能保证$c$和$b$都是整数。

也就是说一开始写的暴力方法，在枚举到$B=2$的时候就找到解了，因此能过......

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<cstdio>
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#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double pi=acos(-1.0),eps=1e-8;
void File()
{
    freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    freopen("D:\\out.txt","w",stdout);
}

LL n,ans1,ans2;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1||n==2) printf("-1\n");
    else
    {
        if(n*n%2==1) ans1=(n*n+1)/2, ans2=(n*n-1)/2;
        else ans1=(n*n/2+2)/2, ans2=((n*n/2-2))/2;
        printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
    }
    return 0;
}