每天一道博弈论之“分裂游戏”（HNOI2007）

   题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3185

 

  题解：

　　首先这道题第一眼望过去好像不是很简单qwq，那么我们先尝试看能不能发现一些特殊性质。

　　我们先从后手相消的原则去看，则可以发现若一个瓶子中有偶数个的话，那么这个瓶子是没有意义的。因为后手可以完全复制先手的操作，则该瓶子内减去偶数个巧克力豆还是偶数个，新增的两个瓶子内也都是增加了偶数个。

　　于是我们就只考虑奇数个的瓶子。而且明显只要当成1就可以了，因为取掉1之后就是偶数，就可以当做不存在了。那么原序列就变成了一个01序列。、

　　假如我们了解过multi-nim模型的话我们就可以发现其实剩下的操作与multi-nim是很像的。

 

 什么是multi-nim呢？

　　n堆石子，两种操作，其一为在一堆石子中拿走任意个（>0），其二为把一堆石子分成两堆，这两堆石子总数等于原石子数，且都是正整数。不能操作时输。

　　可以发现每堆石子是独立的。一堆石子数为x的sg值为mex{sg[y],sg[i]^sg[j]}(0<=y<x,i+j==x,i>0,j>0)

 

　　我们回到原题。

　　我们可以观察到每个1所对应的游戏状态是独立的，那么我们算出每个1的sg值再用sg定理即可解决。我们可以把01序列中1的位置对应到multi-nim中的值。比如样例中序列（1,0,1,5000），转换成01序列为（1,0,1）（最后一位不能移动，不需考虑），那么其对应的游戏状态为（1,3），只不过这时与multi-nim不同的一点就是此时一个数分成的两个数之和不一定要等于原数，而且可以为零。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
#define RI register int
using namespace std;
const int INF = 0x7ffffff ;

inline int read() {
    int k = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ;
    for( ; !isdigit(c) ; c = getchar())
      if(c == '-') f = -1 ;
    for( ; isdigit(c) ; c = getchar())
      k = k*10 + c-'0' ;
    return k*f ;
}

int n ; int sg[23], a[23] ;

int dfs(int x) {
    if(sg[x]) return sg[x] ;
    bool v[100] = {0} ;
    for(int i=x+1;i<=n;i++)
      for(int j=i;j<=n;j++)
        v[dfs(i)^dfs(j)] = 1 ;
    for(int i=0; ;i++)
      if(!v[i]) {
          sg[x] = i ; return i ;
      }
}

int main() {
    int t = read() ;
    while(t--) {
        n = read() ; memset(sg,0,sizeof(sg)) ;
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i] = read() ;
        int res = 0 ;
        for(int i=1;i<n;i++) if(a[i]&1) res ^= dfs(i) ;
        int tot = 0 ;
        for(int i=1;i<n;i++) {
//            if(!(a[i]&1)) continue ;  // 虽然我们在转换成multi-nim游戏后不用考虑那些偶数点
                                      // 但从方案的角度考虑先移偶数也可能会到达必败态 
            for(int j=i+1;j<=n;j++) 
              for(int k=j;k<=n;k++) {
                  if(!(dfs(j)^dfs(k)^dfs(i)^res)) {  // 当该位原本为奇数时，dfs(i)^res即删去原位的i
                                                   // 再亦或上dfs(j)^dfs(k)即在i为与j位加上1
                                                   // 当该位原本为偶数时，res表示原游戏sg值
                                                   // 移动导致i,j,k三个位置都发生奇偶变化，即新增三个游戏，所以要亦或上三个游戏的sg值 
                      tot ++ ;
                      if(tot == 1) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1) ;
                  }
              }
        }
        if(!tot) printf("-1 -1 -1\n") ;
        printf("%d\n",tot) ;
    }
    return 0 ;
}

 

  错误原因：一开始没有考虑到虽然对于胜负来说偶数无所谓，但对于方案来说还是可以移动偶数的。所以只要把那句跳过偶数的注释掉就ok了。

 

 （博弈论主要是个人的思考与理解，很难讲明白，本博客只希望其中的某几句话能激发大家的灵感即可）

 ——end ;