[题解] [HNOI2015]落忆枫音
[题解] [HNOI2015]落忆枫音
题意
给一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的 \(DAG\) ,保证点 \(1\) 不存在入边,现在需要在 \(DAG\) 中加入一条不在原图中的边 \((x,y)\) ,求这个有向图以 \(1\) 为根的树形图个数对 \(1e9+7\) 取模的结果。
（而且有点像是骗狗进来杀）
范围
\(1 \le n \le 100000, n−1 \le m \le min(200000 , \frac{2n(n−1)}{2} ),1 \le x,y,u_i,v_i le n\)
题解
先假设我们没有加上 \((x,y)\) 这条边，那么可以比较简单的知道总方案数, \(r_i\) 为入度数量
\[ans= \prod^{n}_{i=1}r_i
\]
接下来，我们来看看加上 \((x,y)\) 的限制后，答案该怎么统计。
显然只会增加一些非法的情况，我们只要减去这些非法情况就OK了。
假设存在一个环，显然不合法的情况都在环上的点产生的。
我们设这些点为 \(a_1,a_2, a_k\)
那么不合法的情况为：
\[\frac{ans}{\prod^k_{i=1}r_i}
\]
又由于环的入度已经确定，那么其他的可选随意选择。
设 \(f_v\) 记录从 \(y\) 到 \(v\) 的 \(\frac{ans}{\prod^k_{i=1}r_i}\) 的值
为为那么转移方程为：
\[f[u]=\sum f[v]
\]
最后的答案为：
\[ans=\prod^n_{i=1}(i==y)? r_{i+1} : r_i - f_x
\]
