斯特林数学习笔记
第一类斯特林数
我们记\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\)为将\(n\)个不同的数分为\(m\)个非空圆排列的方案数, 即第一类斯特林数
有
\[\displaystyle
\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)*\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}
\]
要么第\(n\)个数单独成环, 要么将第\(n\)个数接到前面某一个数的后面, 第二种是有\(n - 1\)种选择方式的
第一类斯特林数的几条性质
第一条
\[\displaystyle n! = \sum_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}
\]
假设下式成立
\[\displaystyle n! = \sum_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n \\ i\end{bmatrix}
\]
使用归纳法证明, 则有
\[\displaystyle
\begin{aligned}
\sum_{i = 0}^{n + 1}\begin{bmatrix}n + 1 \\ i\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}n + 1 \\ n + 1\end{bmatrix} + \sum_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n + 1 \\ i\end{bmatrix}\\
&=\sum_{i = 0}^{n}(\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}) + \begin{bmatrix}n+1\\n+1\end{bmatrix}\\
&=n * \sum_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n+1\\n+1\end{bmatrix}\\\
&=n*\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+\sum_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n+1\\n+1\end{bmatrix}\\
&=(n + 1)*\sum_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n+1\\n+1\end{bmatrix}\\
&=(n + 1)*\sum_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\n+1\end{bmatrix}\\
&=(n + 1)*\sum_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}+(n +1)*\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}+0\\
&=(n+1)*\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\\
&=(n+1)*n!\\
&=(n+1)!
\end{aligned}
\]
故第一条性质成立(保证n=1时成立, 下同)
第二条
\[\displaystyle x^{\underline n} = \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i
\]
同上, 假设下式成立
\[\displaystyle x^{\underline n}=\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i
\]
还是使用归纳法证明, 有
\[\displaystyle
\begin{aligned}
x^{\underline {n+1}}&=(x-n)x^{\underline n}\\
&=x\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i-n\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\\
&=\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i+1}-(-1)*(-1)*n\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\\
&=\sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i-\begin{bmatrix}n\\0 - 1\end{bmatrix}(-1)^{n+1}x^0+(-1)*n\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i - 1\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*\sum_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i - 1\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*\sum_{i = 0}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{n+1-i}x^i(\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix})\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\\
&=\sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\\
\end{aligned}
\]
故第二条性质成立
第三条
\[\displaystyle x^{\overline n} = \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i
\]
同上, 假设下式成立
\[\displaystyle x^{\overline n} = \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i
\]
仍使用数学归纳法证明, 有
\[\displaystyle
\begin{aligned}
x^{\overline {n+1}}&=
(x+n)x^{\overline n}\\
&=x*\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i + n * \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\
&=\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^{i+1}+n*\sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}x^i+n*\sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\
&=\sum_{i=1}^{n+1}x^i(\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}+n*\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix})\\
&= \sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}x^i\\
&= \sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}x^i\\
\end{aligned}
\]
以上只为一些简单的性质, 并不是全部的性质(然而我也不知道有哪些性质)
第二类斯特林数
记\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)为将\(n\)个不同的数组成\(m\)个非空集合的方案数, 即第二类斯特林数
有
\[\displaystyle
\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m*\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}
\]
即要么第\(n\)个元素单独为一个集合, 要么将其放入之前的集合, 第二种有\(m\)个集合可供选择
第二类斯特林数的几条性质
我所知道的唯一一条
\[\displaystyle
n^m=\sum_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!
\]
假设下式成立
\[\displaystyle
n^m=\sum_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!
\]
使用数学归纳法证明
\[\displaystyle
\begin{aligned}
n^{m+1}&=n^m*n\\
&=n*\sum_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}n*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}n*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}n*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}*\frac{n!}{(n-i)!}\\
&=n!*\sum_{i=0}^{m+1}\frac{n*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&=n!*\sum_{i=0}^{m+1}\frac{i*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}+\frac{(n-i)*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&=n!*\sum_{i=0}^{m+1}\frac{i*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}+\frac{\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i-1)!}\\
&= n!*(\sum_{i=0}^{m+1}\frac{i*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}+\sum_{i=1}^{m+1}\frac{\begin{Bmatrix}m\\i-1\end{Bmatrix}}{(n-i)!})\\
&= n!*(\sum_{i=1}^{m+1}\frac{i*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}+\sum_{i=1}^{m+1}\frac{\begin{Bmatrix}m\\i-1\end{Bmatrix}}{(n-i)!})\\
&= n!*\sum_{i=1}^{m+1}\frac{i*\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}m\\i-1\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&= n!*\sum_{i=1}^{m+1}\frac{\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&= n!*\sum_{i=0}^{m+1}\frac{\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&= \sum_{i=1}^{m+1}\frac{n!*\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}}{(n-i)!}\\
&= \sum_{i=1}^{m+1}\frac{n!*\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}}{i!*(n-i)!}*i!\\
&= \sum_{i=1}^{m+1}\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}*\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\\
&= \sum_{i=1}^{m+1}\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!\\
&= \sum_{i=0}^{m+1}\begin{Bmatrix}m+1\\i\end{Bmatrix}*C_n^i*i!\\
\end{aligned}
\]
故此性质成立
