[luogu1081] 开车旅行
题面
这个题目还是值得思考的.
看到这个题目, 大家应该都想到了这样一个思路, 就是把每个点能够达到的最近的和次近的点都预处理出来, 然后跑就可以了, 现在问题就是难在这个预处理上面, 我们应该如何做呢? 观察到, 近的概念是两点之间的海拔距离最小, 所以我们可以将海拔距离从后往前(毕竟你只能往你后面的地方走嘛...), 扔进一个可以维护大小关系的数据结构中, 不妨设当前点海拔进入这个数据结构后位置为\(k\), 那么我们只需要比较位置为\(k - 1\), \(k - 2\), \(k + 1\), \(k + 2\)的四个数就可以了, 大家可以自己在纸上分类讨论一下, 这里就不做过多的阐述了. 现在我们只需要知道这个数据结构就可以了, 大家想一想, 有什么数据结构可以快速的找到某个数排序后的位置呢? 平衡树, 查找和插入的复杂度都为\(\log_ {2}{n}\)了, 这样我们就可以快速寻找了, 当然, 因为有重复结构, 所以用STL中的\(multiset\)是比较好的一种办法(其实是我不会双向链表), 这样我们就将比较难想的预处理部分弄出来了.
当然, 想完了预处理后我们就可以想接下来怎么走了. 比较快速的方法是倍增, \(f[i][j][opt]\)表示当前位置为\(i\), 已经走了\(2 ^j\)天, \(opt\)为1时代表从\(i\)位置开始走, 第一个走的是B所走到的位置, 那么\(opt\)是\(0\)时就是A了. \(disa[i][j][opt]\)代表在第\(i\)位出发, 走了\(2 ^ j\)天, \(opt\)为1代表从\(i\)开始走, B先出发, 在这段时间中A走的距离, opt为\(0\)自己推一下吧, 实在是不想打了, \(disb[i][j][opt]\)也自己照着看一下吧. 我们在预处理出每个点的最近点和次近点后, 就可以处理出来了.
至此, 预处理完毕, 剩下的代码中会说到的.
具体代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#define N 100005
using namespace std;
int n, x0, m, f[N][22][2], disa[N][22][2], disb[N][22][2], bin;
struct node
{
int id, h;
bool operator < (const node &p) const { return h < p.h; }
} ht[N];
multiset<node> s;
multiset<node> :: iterator it;
inline int read()
{
int x = 0, w = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') w = -1; c = getchar(); }
while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * w;
}
inline void get_ans(int S, int &dist_a, int &dist_b, int limit)
{
int now = S;
for(int i = 20; i >= 0; i--)
if(f[now][i][0] && disa[now][i][0] + disb[now][i][0] + dist_a + dist_b <= limit)//倍增跑, 注意当没有能够跑的地方或者超过了给定的值的话就需要continue
{
dist_a += disa[now][i][0];
dist_b += disb[now][i][0];
now = f[now][i][0];
}
}
inline long long abs(long long x) { return x < 0 ? -x : x; }
inline void init()
{
for(int i = n; i >= 1; i--)
{
int Ato, Bto; node nxt, pre;
s.insert(ht[i]);//先插入当前海拔, 方便找
it = s.lower_bound(ht[i]);//找到当前海拔在序列中的位置
it++; nxt = (*it);
it--; it--; pre = (*it);
it++;
if(abs(nxt.h - ht[i].h) < abs(pre.h - ht[i].h))
{
it++, it++;
Bto = nxt.id;
if(abs(pre.h - ht[i].h) > abs((*it).h - ht[i].h)) Ato = (*it).id;
else Ato = pre.id;
}
else
{//同上
it--, it--;
Bto = pre.id;
if(abs(nxt.h - ht[i].h) >= abs((*it).h - ht[i].h)) Ato = (*it).id;
else Ato = nxt.id;
}
//注意, 这里由于前后海拔差相同的话取海拔较低的, 所以有的地方有等于号, 有的地方没有, 希望大家能够自己好好去想一下为什么, 有问题可以私信我(反正我不会回答的(手动删除)).
f[i][0][0] = Ato; f[i][0][1] = Bto;
disa[i][0][0] = abs(ht[Ato].h - ht[i].h); disb[i][0][0] = 0;
disb[i][0][1] = abs(ht[Bto].h - ht[i].h); disa[i][0][1] = 0;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)//由于上面并没有讨论到A, B都走过了的情况, 只讨论了A和B单独走的情况, 故在这里要处理一下.
{
f[i][1][0] = f[f[i][0][0]][0][1];
f[i][1][1] = f[f[i][0][1]][0][0];
disa[i][1][1] = abs(ht[f[i][1][1]].h - ht[f[i][0][1]].h); disb[i][1][0] = abs(ht[f[i][1][0]].h - ht[f[i][0][0]].h);
disa[i][1][0] = disa[i][0][0]; disb[i][1][1] = disb[i][0][1]; //类似于倍增LCA中的预处理
}
for(int j = 2; j <= 20; j++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i][j][0] = f[f[i][j - 1][0]][j - 1][0];
f[i][j][1] = f[f[i][j - 1][1]][j - 1][1];
disa[i][j][0] = disa[i][j - 1][0] + disa[f[i][j - 1][0]][j - 1][0];
disb[i][j][0] = disb[i][j - 1][0] + disb[f[i][j - 1][0]][j - 1][0];
disa[i][j][1] = disa[i][j - 1][1] + disa[f[i][j - 1][1]][j - 1][0];
disb[i][j][1] = disb[i][j - 1][1] + disb[f[i][j - 1][1]][j - 1][0];
//仔细思考一下, 应该不难
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) { ht[i].h = read(); ht[i].id = i; }
ht[0].h = 2e9 + 7; ht[n + 1].h = -(2e9 + 7); ht[0].id = 0; ht[n + 1].id = n + 1;
//我取2147483647爆掉了, 调了整整一上午, 所以取极值的时候需要注意一下
s.insert(ht[0]); s.insert(ht[0]); s.insert(ht[n + 1]); s.insert(ht[n + 1]);
//插入两个极小值和极大值代表我们在找到位置k的时候, 他前后总会至少有两个点, 免去了分类讨论的冗杂
init(); //预处理
x0 = read(); m = read();
int id = 0;
double ans = 1e16;
for(int i = 1; i <= n; i++)//枚举每一个点为起点时的比例
{
int dist_a = 0, dist_b = 0;
get_ans(i, dist_a, dist_b, x0);
if(dist_b == 0)
{
if(ans > 1e14) { ans = 1e14; id = i; }
else if(ans == 1e14 && ht[i].h > ht[id].h) id = i;
}
else
{
double res = (double) dist_a / dist_b;
if(res < ans) { ans = res; id = i; }
else if(res == ans && ht[i].h > ht[id].h) id = i;
}
}
printf("%d\n", id);
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
bin = read(); x0 = read();
int dist_a = 0, dist_b = 0;
get_ans(bin, dist_a, dist_b, x0);
printf("%d %d\n", dist_a, dist_b);
}
return 0;
}
