第2章 运动曲线
引言
- 轨迹（产生）：一个物体的运动遵循一条轨迹。
- 轨迹（定义）：由物体的运动产生的点的集合。
- 轨迹的数学描述方法：笛卡尔坐标系、极坐标系
- 轨迹的种类
-
单轴运动（1D）
- 在一台机器中，运动可以是沿一条直线的单独运动。
- 在一台机器中，运动可以是沿一条直线的单独运动。
-
多轴运动（nD）
- 在一些更复杂的场合中，比如数控机床的切削刀具可能要求圆周运动，就要求要求多轴联动。
- 在一些更复杂的场合中，比如数控机床的切削刀具可能要求圆周运动，就要求要求多轴联动。
-
- 运动曲线（定义）
- 当某个机械的轴被要求从点A移动到点B时，需要生成这两点之间的连接轨迹
- 在运动控制中，这条轨迹被称为运动曲线
- 工业运动控制的运动曲线
- 加速-->匀速-->减速
- 将物体以一个平滑的加速从位置点A出发
- 进入匀速运行状态一段时[图片上传中...(铆钉处于移动状态.gif-64b859-1601902755800-0)]
间 - 以一个平滑的减速到达位置点B停止
-
运动曲线的产生方式：
离线或在线
- 如果铆钉处于移动状态，则需在线规划运动曲线
- 如果铆钉处于移动状态，则需在线规划运动曲线
2.1 运动学基本概念
什么是运动学？
- 定义：专门描述物体的运动，即物体在空间中的位置随时间的演进而做的改变，完全不考虑作用力或质量等影响运动的因素。
- 研究内容：时间\(t\)、位置\(s\)、速度\(v\)和加速度\(a\)之间的关系
工业运动控制中研究运动学的意义
- 计算运动曲线：\(s=f(t,v,a)\)
- 在机械设计过程中正确选择各轴对应的电机
一些量
- 位置：\(s(t)\)
- 当一个轴坐标从点A运动到点B时，它的位置\(s(t)\)的运动轨迹是时间的函数
- 速度：\(v(t)\)
- 速度\(v(t)\)是给定时间区间内位置\(s(t)\)的变化率
- 加速度：\(a(t)\)
- 加速度\(a(t)\)是速度\(v(t)\)在一个给定时间区间中的变化率
- \(a(t)=\frac{dv}{dt}\)
- 速度\(v(t)\)、加速度\(a(t)\)的积分形式
- \(s=\int v(t)dt\)
- \(v=\int a(t)dt\)
运动曲线的几何规则
- 函数的积分
- 等于函数曲线在无穷小区间函数值的和
- 即：等于函数曲线下的面积
- \(s=\int v(t)dt\)
- \(t\)时刻的位置\(s=\)直到时刻\(t\)的速度曲线\(v(t)\)下的面积
- \(v=\int a(t)dt\)
- 加速度是速度曲线的斜率
- 更一般情况（初始位置\(s_{0} \neq v_{0}\)）
- \(s = s_{0} + v_{0}(t - t_{0}) + \frac{1}{2} a (t - t_{0})^2\)
- \(v = v_{0} + a(t - t_{0})\)
- \(t_{0}\)：初始时刻
- \(t_{0}\)：初始速度
- \(t_{0}\)：初始位置
- \(a\)：加速度是常数
2.2 常见的运动曲线
2.2.1 梯形速度曲线
- 整个运动曲线分为3段
- 加速段
- 匀速段（零加速）
- 减速段
- 速度曲线的突变由加速度变化造成
- 梯形曲线由于在速度曲线的转角加速度不连续，存在加速度变化极大的冲击点
- 为了移动一个机械轴，通常希望直到下列运动参数：
- 轴坐标移动的距离（位置）\(s\)
- 运动速度\(v_{m}\)
- 加速度\(a\)
(1) 几何方法：
- 计算加速、减速时间
\[t_{a} = t_{d} = \frac{v_{m}}{a}
\]
- 总运动时间
\[t_{total} = t_{a} + t_{m} + t_{d}
\]
- 轴坐标运动的距离
- 等于速度曲线下的两个三角形面积和一个矩形面积
\[L = \frac{t_{a}v_{m}}{2} + t_{m}v_{m} + \frac{t_{d}v_{m}}{2}
\]
(2) 解析方法：
- 更一般情况
- \(s = s_{0} + v_{0}(t - t_{0}) + \frac{1}{2} a (t - t_{0})^2\)
- \(v = v_{0} + a(t - t_{0})\)
- 运用上式，运动控制器可以计算任意时刻的轴位置
- 由于运动由三个截断（加速、匀速、减速）构成
- 所以方程的计算需要使用各段正确的边界条件(\(t_{0}, v_{0}, s_{0}\))
- 加速阶段：\(t_{0} = 0, v_{0} = 0, s_{0} = 0\)
- 匀速阶段：\(t_{0} = t_{a} , v_{0} = v_{m}, s_{0} = s_{t_{a}}, a = 0\)
- 减速阶段：\(t_{0} = t_{a} + t_{m}, v_{0} = v_{m}, s_{0} = s_{t_{a} + t_{m}}, a = 0\)
2.2.2 S形速度曲线
-
速度曲线的圆角采用二次抛物线构造
-
重新构造的速度曲线在转换时是平滑的
- 与梯形速度曲线不同，加速度不再是常数
- 加、减速时产生的冲击也不是无穷大了
-
S形速度曲线含有7个不同区间
-
其中4段用二次方程表达（二次曲线）
-
剩余3段是斜率为正、零、负的直线
-
工程简化方法：省略速度曲线的直线段
-
纯S形速度曲线由两段二次曲线组成（A、B段）
-
每段可用如下方程表示
- \(v(t) = C_{1}t^2 + C_{2}t + C_{3}\)
- \(C_{1}\)、\(C_{2}\)、\(C_{3}\)是由边界条件决定的系数
2.2.2.1 曲线A
- 边界条件
- \(v(0) = 0\)
- \(a(0) = \frac{dv}{dt} = 0\)
- \(v(\frac{t_{a}}{2}) = \frac{v_{m}}{2}\)
- \(a(\frac{t_{a}}{2}) = a\)
- 综上得曲线A的方程
- \(v_{A}(t) = \frac{a^2}{2v_{m}}t^2\)
- \(v_{A}(t) = \frac{a^2}{2v_{m}}t^2\)
- 曲线A的具体推导过程
- 已知
- 二次方程
- \(v(t) = C_{1}t^2 + C_{2}t + C_{3}\)
- 边界条件
- 二次方程
- 已知
\[v(0) = 0 \tag{1}
\]
\[a(0) = \frac{dv}{dt} = 0 \tag{2}
\]
\[v(\frac{t_{a}}{2}) = \frac{v_{m}}{2} \tag{3}
\]
\[a(\frac{t_{a}}{2}) = a \tag{4}
\]
- 求解
- \(C_{1}\)
- \(C_{2}\)
- \(C_{3}\)
- 解：
- 由边界条件(1)可得
\[v(0) = 0 + 0 + C_{3}
\]
- 由\(v(t) = C_{1}t^2 + C_{2}t\)，对其微分可得
\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 2C_{1} + C_{2}
\]
- 由边界条件(2)可得
\[a(0) = 2C_{1} \cdot 0 + C_{2} = 0
\]
即
\[C_{2} = 0
\]
- 由边界条件(3)可得
\[v(\frac{t_{a} }{2}) = C_{1}(\frac{t_{a} }{2})^2 = \frac{v_{m} }{2}
\]
则
\[C_{1} = \frac{2v_{m} }{(t_{a})^2}
\]
- 已知\(v(t) = C_{1} t^2 = \frac{2v_{m} }{(t_{a})^2}t^2\)，对其微分可得
\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{4v_{m} }{(t_{a})^2}
\]
- 由边界条件(4)可得
\[\frac{2v_{m}}{t_{a}} = a
\]
即
\[t_{a} = \frac{2v_{m}}{a}
\]
- 综上，有
\[C_{1} = \frac{a^2}{2v_{m}}
\]
\[v(t) = C_{1}t^2 = \frac{a^2}{2v_{m}}t^2
\]
2.2.2.2 曲线B
- 方程
\[\begin{aligned}
v_{B}(t) & = v_{m} - v_{A}(t_{a} - t) \\
& = v_{m} - \frac{a^2}{2v_{m}}(t_{a} - t)^2
\end{aligned}\]
- 推导过程可利用曲线A
\[v_{A}(t) = \frac{a^2}{2v_{m}}t^2
\]
2.3 多轴运动
- 数控机床要求各轴联动来完成某项任务
- 工作台的两轴联动可以实现对工件的圆弧加工
- 三坐标联动则可以实现三维（3D）切削
- 工作台的两轴联动可以实现对工件的圆弧加工
- 有三种方式来移动机床的轴：
- 每次移动一个轴
- 所有轴同时开始移动（摆转运动）
- 所有轴同时开始移动，并调节使它们同时停止（插补运动）
2.3.1 移动方式1：每次移动一个轴
2.3.2 移动方式2：摆转运动
- 所有轴同时用同样的速度开始运动
- 但是各轴完成运动的时间通常是不同的
2.3.3 移动方式3：插补运动
- 各轴用不同的速度开始运动
- 各轴完成运动的时间是相同的
