蒟阵乘法

蒟阵乘法，顾名思义，就是蒟蒻的乘法两个蒟阵相乘

公式：\(a\times b,a\)为\(m\times k\)的蒟阵\(,b\)为\(k\times n\)的蒟阵\(,c[i][j]=\sum_{i=1}^{k}a[i][k]\times b[k][j]\)

参考code:

//代码写得很丑
long long mod，maxn;
struct node
{
	long long a[maxn][maxn];
	node operator+(const node &u)const{node v;for(int i=0;i<maxn;i++)for(int j=0;j<maxn;j++){v.a[i][j]=u.a[i][j]+a[i][j];if(v.a[i][j]>=mod)v.a[i][j]-=mod;}return v;}//请忽略这一行
	node operator*(const node &u)const{node v;for(int i=0;i<maxn;i++)for(int j=0;j<maxn;j++){v.a[i][j]=0;for(int k=0;k<maxn;k++)v.a[i][j]=(v.a[i][j]+a[i][k]*u.a[k][j])%mod;}return v;}
};

蒟阵乘法有结合律，但没有交换律

蒟阵快速幂:利用蒟阵的结合律，减少所用时间

实现类似普通的快速幂，时间复杂度：\(O(\log_{2}n)\)

代码：

void ksm(long long n)
{
	while(n)
	{
		if(n&1)ans=ans*a;//a,ans为蒟阵
		a=a*a;
		n>>=1;
	}return;//答案存储在ans里
}

例：斐波拉契数列P1962

\(f[1]=f[2]=1,f[n]=f[n-1]+f[n-2],\)求\(f[n]\;\;mod\;\;1000000007(1\text{e}9+7)\)的值

过程：可以用一个\(1\times2\)的蒟阵来存储\(f[n-1]\)与\(f[n-2]\)

于是由递推式得\((f[n-1],f[n-2])\times\lgroup_{1,0}^{1,1}\rgroup=(f[n],f[n-1])\)

代码：

#include<stdio.h>
const long long mod=1000000007;
struct node
{
	long long a[2][2];
	node operator+(const node &u)const{node v;for(int i=0;i<=1;i++)for(int j=0;j<=1;j++){v.a[i][j]=u.a[i][j]+a[i][j];if(v.a[i][j]>=mod)v.a[i][j]-=mod;}return v;}
	node operator*(const node &u)const{node v;for(int i=0;i<=1;i++)for(int j=0;j<=1;j++){v.a[i][j]=0;for(int k=0;k<=1;k++)v.a[i][j]=(v.a[i][j]+a[i][k]*u.a[k][j])%mod;}return v;}
}a,ans;
long long ksm(int m)
{
	while(m)
	{
		if(m&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		m>>=1;
	}
	return ans.a[0][0];
}
int n;
int main()
{
	a.a[0][0]=1;a.a[0][1]=1;
	a.a[1][0]=0;a.a[1][1]=0;
	ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=1;
	ans.a[1][0]=1;ans.a[1][1]=0;
	scanf("%d",&n);
	if(n>2)printf("%lld\n",ksm(n-2));
	else printf("%d\n",1);
}