相关数学理论和公式（同余问题）

基本定理与概念

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形如\(a\equiv b(mod\;m)\)的式子称为同余式

1. \(a\equiv b(mod\;m)\)当且仅当\(m\;|\;(a-b)\)
2. 若\(a\equiv b(mod\;m)\)，\(b\equiv c(mod\;m)\)，则\(a\equiv c(mod\;m)\)（传递性）
3. 若\(a\equiv b(mod\;m)\)，则
   • \(a+c\equiv b+c(mod\;m)\)
   • \(a-c\equiv b-c(mod\;m)\)
   • \(a\times c\equiv b\times c(mod\;m)\)
4. 若\(a\equiv b(mod\;m)\)，\(c\equiv d(mod\;m)\)
   • \(ax+cy=bx+dy(mod\;m)\)
   • \(a\times c\equiv b\times d(mod\;m)\)
   • \(a^n\equiv b^n(mod\;m)\)
   • \(f(a)\equiv f(b)(mod\;m)\)
5. 若\(a\equiv b(mod\;m)\)，且\(d\;|\;m\)，则\(a\equiv b(mod\;d)\)

线性同余方程

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形如\(ax\equiv b(mod\;m)\)的包含未知数的同余式称为一元线性同余方程

1. 若\(gcd(a,m)=d\)，如果\(d\;|\;b\)，则方程有d个模m不同的解，否则无解
2. 求解一元线性同余方程需要使用扩展欧几里德算法，过程如下：
   设\(a=d\times a_0\)，\(m=d\times m_0\)，方程变为：
   \(a_0x+m_0y=b\;/\;d\)

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==0){
         x=1;y=0;
         d=a;return;
     }else{
         exgcd(b,a%b,d,x,y);
         ll tmp=x;
         x=y;
         y=tmp-(a/b)*y;
     }
}
int solve(int a,int b,int m){
     exgcd(a,m,d,x,y);
     if(b%d) return -1;  //无解
     x=x*(b/d)%m;
     for(int i=1;i<=d;i++) ans[i]=(x+(i-1)*m/d)%m;
}

设同余方程组为

\[\begin {aligned} x&=r_1(mod\;a_1)\\\ x&=r_2(mod\;a_2)\\\ x&=r_3(mod\;a_3)\\\ x&=r_4(mod\;a_4)\\\ &\cdots\\\ x&=r_5(mod\;a_5)\\\ \end {aligned} \]

求解一元线性同余方程组(小于m的非负整数解),求解x，例题【POJ 2891】

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==0){
         x=1;y=0;
         d=a;
     }else{
         exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
     }
}
int a[N],r[N],n;
ll solve(){
    ll ta=a[1],tr=r[1],x,y,d;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        exgcd(ta,a[i],d,x,y);
        if((r[i]-tr)%d) return -1;
        x=(r[i]-tr)/d*x%(a[i]/d);
        tr+=x*ta;ta=ta/d*a[i];
        tr%=ta;
     }
     return tr>0?tr:tr+ta;
}