相关数学理论和公式（素数）

素数性质

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1. 素数是大于1的正整数且只能被1和自身整除
2. 设p是素数且\(p|ab\)，则必有\(p|a\)或者\(p|b\)

素数定理

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\[\pi(x)/(x/ln(x))=1 \]

素数的猜想

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伯特兰猜想：对于任意正整数\(n>1\)，存在一个素数\(p\)，使得\(n<p<2n\)
孪生素数猜想：存在无穷多的形如\(p\)和\(p+2\)的素数对
歌德巴赫猜想：每个大于2的正偶数可以写成两个素数的和
\(n^2+1\)猜想：存在无穷多个形如\(n^2+1\)的素数，其中n是正整数。

素数筛

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Eratosthenes筛法

//vis[i]=1,表示i是合数
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=n;i++) 
   for(int j=i*2;j<=n;j++) vis[j]=1;
//稍加优化
int m=sqrt(n+0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=m;i++) if(!vis[i])
   for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;

算术基本定理：

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1. 若n的素因子分解表达式为\(n=p_1^{a_1}+p_2^{a_2}+p_3^{a_3}+\cdots+p_k^{a_k}\)
   \(d(n)\)为n的所有因子之和：\(d(n)=(a_1+1)\times(a_2+1)\times(a_3+1)\cdots(a_k+1)\)
   \(\phi(n)\)为所有因子之和：$$\phi(n)=\frac{p_1^{{a_1+1}-1}{p_1-1}\times\frac{p_2}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$$
2. 若a的素因子分解表达式为\(x=p_1^{a_1}+p_2^{a_2}+p_3^{a_3}+\cdots+p_k^{a_k}\)
   y的素因子分解表达式为\(a=p_1^{b_1}+p_2^{b_2}+p_3^{b_3}+\cdots+p_k^{b_k}\)

\[gcd(x,y)=p_1^{min(a_1,b_1)}+p_2^{min(a_2,b_2)}+p_3^{min(a_3,b_3)}+\cdots+p_k^{min(a_k,b_k)} \]

\[lcm(x,y)=p_1^{max(a_1,b_1)}+p_2^{max(a_2,b_2)}+p_3^{max(a_3,b_3)}+\cdots+p_k^{max(a_k,b_k)} \]

3. \(lcm(a,b)\times gcd(a,b)=a\times b\)
4. \(n!\)的素因子分解中的素数p的幂为$$[n/p]+[n/p^2]+[n/p3]+\cdots$$